ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a}-2\vec{b}| = 7$ を満たしている。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$, $|2\vec{a}+\vec{b}|$, $\vec{a}-2\vec{b}$ と $2\vec{a}+\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の $\cos \theta$ の値, $| \vec{a} + t\vec{b} |$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a}-2\vec{b}| = 7$ を満たしている。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$, $|2\vec{a}+\vec{b}|$, $\vec{a}-2\vec{b}$ と $2\vec{a}+\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の $\cos \theta$ の値, $| \vec{a} + t\vec{b} |$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a}-2\vec{b}| = 7$ の両辺を2乗する。

$$|\vec{a}-2\vec{b}|^2 = 7^2$$

$$(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-2\vec{b}) = 49$$

$$|\vec{a}|^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 49$$

$|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 3$ を代入して、

$$25 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4(9) = 49$$

$$25 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 36 = 49$$

$$61 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} = 49$$

$$4\vec{a}\cdot\vec{b} = 12$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3$$

次に $|2\vec{a}+\vec{b}|$ を計算する。

$$|2\vec{a}+\vec{b}|^2 = (2\vec{a}+\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+\vec{b})$$

$$|2\vec{a}+\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$$

$|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 3, \vec{a}\cdot\vec{b} = 3$ を代入して、

$$|2\vec{a}+\vec{b}|^2 = 4(25) + 4(3) + 9 = 100 + 12 + 9 = 121$$

よって、

$$|2\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{121} = 11$$

次に $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta = \frac{(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}-2\vec{b}||2\vec{a}+\vec{b}|}$$

分子を計算する。

$$(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+\vec{b}) = 2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 2|\vec{b}|^2$$

$$= 2(25) - 3(3) - 2(9) = 50 - 9 - 18 = 23$$

分母は $|\vec{a}-2\vec{b}| = 7, |2\vec{a}+\vec{b}| = 11$ なので、

$$|\vec{a}-2\vec{b}||2\vec{a}+\vec{b}| = 7 \times 11 = 77$$

よって、

$$\cos \theta = \frac{23}{77}$$

次に $| \vec{a} + t\vec{b} |$ の最小値を計算する。

$$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2t(\vec{a}\cdot\vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2$$

$$= 25 + 2t(3) + t^2(9) = 9t^2 + 6t + 25$$

平方完成して、

$$= 9(t^2 + \frac{2}{3}t) + 25 = 9(t + \frac{1}{3})^2 - 9(\frac{1}{9}) + 25 = 9(t + \frac{1}{3})^2 - 1 + 25 = 9(t + \frac{1}{3})^2 + 24$$

最小値は $t = -\frac{1}{3}$ のときで、 $24$。

よって、 $| \vec{a} + t\vec{b} |$ の最小値は $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$|2\vec{a}+\vec{b}| = 11$

$\cos \theta = \frac{23}{77}$

最小値: $2\sqrt{6}$

$t$ の値: $-\frac{1}{3}$