正七角形に関する以下の2つの問題を解きます。 (1) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求める。 (2) 正七角形の対角線の本数を求める。

1. 問題の内容

正七角形に関する以下の2つの問題を解きます。

(1) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求める。

(2) 正七角形の対角線の本数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数

正七角形の7つの頂点から3つの頂点を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは組み合わせの公式 ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

$n=7$, $r=3$ なので、

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2) 対角線の本数

正七角形の対角線の本数は、まず7つの頂点から2つの頂点を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは ${}_7 C_2$ で求められます。

${}_7 C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

この中には正七角形の辺も含まれているので、辺の数7を引きます。

$21 - 7 = 14$

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：35個

(2) 対角線の本数：14本