問題は、直角三角形における三角比（sinA, cosA, tanA）の値を求める問題です。2つの直角三角形と、cosA の値が与えられたときのsinAとtanAの値を求める問題があります。

1. 問題の内容

問題は、直角三角形における三角比（sinA, cosA, tanA）の値を求める問題です。2つの直角三角形と、cosA の値が与えられたときのsinAとtanAの値を求める問題があります。

2. 解き方の手順

(1) 図1の直角三角形において、斜辺の長さを求めます。ピタゴラスの定理より、斜辺の長さは $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ です。

- $\sin A = \frac{対辺}{斜辺} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

- $\cos A = \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

- $\tan A = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{2}{3}$

(2) 図2の直角三角形において、斜辺の長さを求めます。ピタゴラスの定理より、斜辺の長さは $\sqrt{(\sqrt{11})^2 + 2^2} = \sqrt{11 + 4} = \sqrt{15}$ です。

- $\sin A = \frac{対辺}{斜辺} = \frac{2}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{15}$

- $\cos A = \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{165}}{15}$

- $\tan A = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{2}{\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11}}{11}$

(3) $\cos A = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ を求めます。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ の関係を利用します。

- $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

- $\sin A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (ただし、0° < A < 90° なので、$\sin A$ は正)

- $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin A = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos A = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$\tan A = \frac{2}{3}$

(2)

$\sin A = \frac{2\sqrt{15}}{15}$

$\cos A = \frac{\sqrt{165}}{15}$

$\tan A = \frac{2\sqrt{11}}{11}$

(3)

$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan A = \frac{\sqrt{5}}{2}$