(d) 3点 $(1,2,3)$, $(3,1,2)$, $(2,3,1)$ を通る平面の方程式を求めよ。 (e) 3点 $(1,-2,0)$, $(0,1,-1)$, $(-1,0,3)$ を通る平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(d) 3点 $(1,2,3)$, $(3,1,2)$, $(2,3,1)$ を通る平面の方程式を求めよ。

(e) 3点 $(1,-2,0)$, $(0,1,-1)$, $(-1,0,3)$ を通る平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(d) 3点 $(1,2,3)$, $(3,1,2)$, $(2,3,1)$ を通る平面の方程式を求める。

3点から2つのベクトルを作る。

$\vec{a} = (3,1,2) - (1,2,3) = (2, -1, -1)$

$\vec{b} = (2,3,1) - (1,2,3) = (1, 1, -2)$

2つのベクトルに垂直なベクトルを計算する（外積）。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (2+1)\vec{i} - (-4+1)\vec{j} + (2+1)\vec{k} = (3, 3, 3)$

法線ベクトルとして $(1,1,1)$ も使える。

平面の方程式は $1(x-1) + 1(y-2) + 1(z-3) = 0$ となる。

$x-1 + y-2 + z-3 = 0$

$x + y + z - 6 = 0$

$x + y + z = 6$

(e) 3点 $(1,-2,0)$, $(0,1,-1)$, $(-1,0,3)$ を通る平面の方程式を求める。

3点から2つのベクトルを作る。

$\vec{a} = (0,1,-1) - (1,-2,0) = (-1, 3, -1)$

$\vec{b} = (-1,0,3) - (1,-2,0) = (-2, 2, 3)$

2つのベクトルに垂直なベクトルを計算する（外積）。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & -1 \\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (9+2)\vec{i} - (-3-2)\vec{j} + (-2+6)\vec{k} = (11, 5, 4)$

平面の方程式は $11(x-1) + 5(y+2) + 4(z-0) = 0$ となる。

$11x - 11 + 5y + 10 + 4z = 0$

$11x + 5y + 4z - 1 = 0$

$11x + 5y + 4z = 1$

3. 最終的な答え

(d) $x+y+z=6$

(e) $11x+5y+4z=1$