三角形ABCにおいて、$a=7, b=5, c=8$であるとき、$\cos A$ の値と$\angle A$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=7, b=5, c=8$であるとき、$\cos A$ の値と$\angle A$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $\cos A$ の値を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると、

$\cos A = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

$\cos A = \frac{1}{2}$となる$A$を求める。$0 < A < \pi$ の範囲で考えると、

$A = \frac{\pi}{3}$

よって、$A = 60^\circ$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{1}{2}$

$\angle A = 60^\circ$