画像にある数学の問題のうち、以下の問題を解きます。 問題2: $\cos A = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。ただし、$0° < A < 90°$ とします。 問題3: $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\cos A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。ただし、$\angle A$ は鈍角とします。 問題4: 次の$\triangle ABC$の面積を求めなさい。 問題5: 次の$\triangle ABC$において、辺$BC$の長さを求めなさい。 問題6: 次の$\triangle ABC$において、外接円の半径$R$を求めなさい。 問題7: 次の$\triangle ABC$において、辺$AB$の長さを求めなさい。 問題8: $\triangle ABC$において、$a=7$,$b=5$,$c=8$のとき、$\cos A$の値と$\angle A$の大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題のうち、以下の問題を解きます。

問題2: $\cos A = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。ただし、$0° < A < 90°$ とします。

問題3: $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\cos A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。ただし、$\angle A$ は鈍角とします。

問題4: 次の$\triangle ABC$の面積を求めなさい。

問題5: 次の$\triangle ABC$において、辺$BC$の長さを求めなさい。

問題6: 次の$\triangle ABC$において、外接円の半径$R$を求めなさい。

問題7: 次の$\triangle ABC$において、辺$AB$の長さを求めなさい。

問題8: $\triangle ABC$において、$a=7$,$b=5$,$c=8$のとき、$\cos A$の値と$\angle A$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

問題2: $\cos A = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。ただし、$0° < A < 90°$ とします。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という公式を利用します。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (∵$0° < A < 90°$より、$\sin A > 0$)

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

問題3: $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\cos A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。ただし、$\angle A$ は鈍角とします。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という公式を利用します。

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos^2 A = 1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\cos A = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ (∵$\angle A$ は鈍角より、$\cos A < 0$)

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times (-\frac{3}{\sqrt{6}}) = -\frac{3}{\sqrt{18}} = -\frac{3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

問題4: 次の$\triangle ABC$の面積を求めなさい。

$\triangle ABC$の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 5 \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

問題5: 次の$\triangle ABC$において、辺$BC$の長さを求めなさい。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$BC = AC \times \frac{\sin A}{\sin B} = 4 \times \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 4 \times \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4 \times \frac{\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

問題6: 次の$\triangle ABC$において、外接円の半径$R$を求めなさい。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$R = \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{8}{2 \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \times \frac{1}{2}} = 8$

問題7: 次の$\triangle ABC$において、辺$AB$の長さを求めなさい。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$AB = AC \times \frac{\sin C}{\sin B}$

$\angle B = 180^\circ - 45^\circ - C = 135^\circ - C$。 しかし、$C$の値が与えられていません。

また、余弦定理を利用することも考えられますが、$\angle A$の情報がないため、$AB$の長さを求めることはできません。問題文の写し間違いや情報不足の可能性があります。

もし、$\angle C=60^\circ$ならば、$\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ となり、$\sin 75^\circ$ の値が必要となります。問題文にない情報が必要なため、やはり解けません。

もし、$BC$の長さが与えられているなら、余弦定理を用いて解くことができます。

いったん、これは保留とします。

問題8: $\triangle ABC$において、$a=7$,$b=5$,$c=8$のとき、$\cos A$の値と$\angle A$の大きさを求めなさい。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

$\cos A = \frac{1}{2}$ より、$A = 60^\circ$

3. 最終的な答え

問題2:

$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan A = \frac{\sqrt{5}}{2}$

問題3:

$\cos A = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan A = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

問題4:

$\frac{15}{2}$

問題5:

$2\sqrt{6}$

問題6:

$R = 8$

問題7:

解けません（情報不足）

問題8:

$\cos A = \frac{1}{2}$

$\angle A = 60^\circ$