$\triangle ABC$において、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AC = 4$のとき、辺$BC$の長さを求めます。

##

5. 次の$\triangle ABC$において、辺$BC$の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AC = 4$のとき、辺$BC$の長さを求めます。

2. 解き方の手順

正弦定理を利用します。正弦定理とは、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

という関係が成り立つ定理です。

ここで、$a, b, c$はそれぞれ角$A, B, C$の対辺の長さを表します。

今回、$BC = a, AC = b$とおくと、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

が成り立ちます。$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AC = 4$を代入すると、

$\frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、代入して、

$\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{2}}$

$BC = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$BC = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2}$

$BC = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$BC = 2\sqrt{6}$

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6. 次の$\triangle ABC$において、外接円の半径$R$を求めなさい。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ があり、その外接円の中にあります。$\angle A = 30^\circ$ であり、$BC = 8$です。この外接円の半径$R$を求めます。

2. 解き方の手順

正弦定理を利用します。$\frac{a}{\sin A} = 2R$

ここで、$a$ は角$A$の対辺の長さを表し、$R$は外接円の半径です。

$BC = a = 8$, $\angle A = 30^\circ$なので、

$\frac{8}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、代入して、

$\frac{8}{\frac{1}{2}} = 2R$

$16 = 2R$

$R = 8$

3. 最終的な答え

$R = 8$

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7. 次の$\triangle ABC$において、辺$AB$の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AC = 3$, $\angle C = 45^\circ$, $BC = \sqrt{2}$のとき、辺$AB$の長さを求めます。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用します。余弦定理とは、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

という関係が成り立つ定理です。

ここで、$a, b, c$はそれぞれ角$A, B, C$の対辺の長さを表します。

今回、$AB = c, AC = b, BC = a$とおくと、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

が成り立ちます。$AC = 3, BC = \sqrt{2}, \angle C = 45^\circ$を代入すると、

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2\cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cos 45^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、代入して、

$c^2 = 2 + 9 - 6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 11 - 6\cdot \frac{2}{2}$

$c^2 = 11 - 6$

$c^2 = 5$

$c = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$AB = \sqrt{5}$