問題3は、与えられた直線に対して、点Aと対称な点Bの座標を求める問題です。 問題4は、与えられた中心と半径を持つ円の方程式を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題3は、与えられた直線に対して、点Aと対称な点Bの座標を求める問題です。

問題4は、与えられた中心と半径を持つ円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題3(1)：直線 $x + 2y = 0$ に対して点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ を求める。

点$B$の座標を$(x, y)$とする。

線分$AB$の中点$M$の座標は$(\frac{3+x}{2}, \frac{-4+y}{2})$であり、$M$は直線上にあるので、

$\frac{3+x}{2} + 2(\frac{-4+y}{2}) = 0$

$3+x -8 + 2y = 0$

$x + 2y = 5$ ...(1)

直線$AB$は与えられた直線と垂直なので、傾きの積は$-1$である。与えられた直線の傾きは$-\frac{1}{2}$なので、直線$AB$の傾きは$2$である。

よって、

$\frac{y - (-4)}{x - 3} = 2$

$y + 4 = 2(x-3)$

$y + 4 = 2x - 6$

$2x - y = 10$ ...(2)

(1)と(2)を連立させて解く。

$x + 2y = 5$

$2x - y = 10$

(1)より$x = 5 - 2y$を(2)に代入すると

$2(5-2y) - y = 10$

$10 - 4y - y = 10$

$-5y = 0$

$y = 0$

$x = 5$

よって、$B(5, 0)$

問題3(2)：直線 $x + y + 1 = 0$ に対して点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ を求める。

点$B$の座標を$(x, y)$とする。

線分$AB$の中点$M$の座標は$(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2})$であり、$M$は直線上にあるので、

$\frac{3+x}{2} + \frac{2+y}{2} + 1 = 0$

$3+x + 2+y + 2 = 0$

$x + y = -7$ ...(3)

直線$AB$は与えられた直線と垂直なので、傾きの積は$-1$である。与えられた直線の傾きは$-1$なので、直線$AB$の傾きは$1$である。

よって、

$\frac{y - 2}{x - 3} = 1$

$y - 2 = x - 3$

$x - y = 1$ ...(4)

(3)と(4)を連立させて解く。

$x + y = -7$

$x - y = 1$

(3) + (4) より

$2x = -6$

$x = -3$

(3)より $y = -7 - x = -7 - (-3) = -4$

よって、$B(-3, -4)$

問題4(1)：中心が原点、半径が5の円の方程式を求める。

円の方程式は$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$で表される。中心が$(a, b)$、半径が$r$である。

中心が原点$(0, 0)$、半径が$5$なので、

$x^2 + y^2 = 5^2$

$x^2 + y^2 = 25$

問題4(2)：中心が点 $(1, 1)$、半径が2の円の方程式を求める。

中心が$(1, 1)$、半径が$2$なので、

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2^2$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$

問題4(3)：中心が点 $(3, -2)$、半径が4の円の方程式を求める。

中心が$(3, -2)$、半径が$4$なので、

$(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 4^2$

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$

問題4(4)：中心が点 $(-1, 2)$、半径が$\sqrt{5}$の円の方程式を求める。

中心が$(-1, 2)$、半径が$\sqrt{5}$なので、

$(x-(-1))^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5$

3. 最終的な答え

問題3(1)：$(5, 0)$

問題3(2)：$(-3, -4)$

問題4(1)：$x^2 + y^2 = 25$

問題4(2)：$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$

問題4(3)：$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$

問題4(4)：$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5$