点Aの座標が(0, 6)、点Bの座標が(11, 4)であるとき、x軸上の点Cを$\angle ACB$が直角となるように定める。このとき、点Cのx座標を求めよ。ただし、線分BCは線分ACより長いものとする。

1. 問題の内容

点Aの座標が(0, 6)、点Bの座標が(11, 4)であるとき、x軸上の点Cを$\angle ACB$が直角となるように定める。このとき、点Cのx座標を求めよ。ただし、線分BCは線分ACより長いものとする。

2. 解き方の手順

点Cの座標を$(x, 0)$とする。

$\angle ACB$が直角であることから、$AC \perp BC$である。よって、直線ACと直線BCの傾きの積は-1となる。

点A(0, 6)と点C(x, 0)を結ぶ直線の傾きは、

$\frac{0 - 6}{x - 0} = -\frac{6}{x}$

点B(11, 4)と点C(x, 0)を結ぶ直線の傾きは、

$\frac{0 - 4}{x - 11} = -\frac{4}{x - 11}$

したがって、

$(-\frac{6}{x})(-\frac{4}{x - 11}) = -1$

$\frac{24}{x(x - 11)} = -1$

$24 = -x(x - 11)$

$24 = -x^2 + 11x$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

$(x - 3)(x - 8) = 0$

$x = 3, 8$

線分BCは線分ACより長いという条件から、

$BC^2 > AC^2$

$(x - 11)^2 + (0 - 4)^2 > (x - 0)^2 + (0 - 6)^2$

$(x - 11)^2 + 16 > x^2 + 36$

$x^2 - 22x + 121 + 16 > x^2 + 36$

$-22x + 137 > 36$

$-22x > -101$

$x < \frac{101}{22} \approx 4.59$

$x = 3$または$x = 8$であり、$x < \frac{101}{22}$を満たすのは$x = 3$である。

3. 最終的な答え

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