## 問題の回答

## 問題の回答

以下に、問題の回答を示します。

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1. 問題の内容

問題2: 2つの平面 $2x + y + kz - 4 = 0$ と $2x + ky - 3z - 5 = 0$ が垂直になるような定数 $k$ の値を求めよ。

問題3: 2つの平面 $x - y - 2z + 6 = 0$ と $x - z + 5 = 0$ のなす角を求めよ。

問題4: 次の各点と平面 $3x - 2y + 8z + 2 = 0$ との距離を求めよ。

(a) 原点

(b) 点 (2, 1, -3)

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2. 解き方の手順

#### 問題2

2つの平面が垂直である条件は、それぞれの法線ベクトルの内積が0になることです。

* 平面 $2x + y + kz - 4 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = (2, 1, k)$

* 平面 $2x + ky - 3z - 5 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = (2, k, -3)$

内積 $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ より、

$2*2 + 1*k + k*(-3) = 0$

$4 + k - 3k = 0$

$4 - 2k = 0$

$2k = 4$

$k = 2$

#### 問題3

2つの平面のなす角 $\theta$ は、それぞれの法線ベクトル $\vec{n_1}$ と $\vec{n_2}$ のなす角を用いて求められます。

$\cos{\theta} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

* 平面 $x - y - 2z + 6 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = (1, -1, -2)$

* 平面 $x - z + 5 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = (1, 0, -1)$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1*1 + (-1)*0 + (-2)*(-1) = 1 + 0 + 2 = 3$

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{|3|}{\sqrt{6}\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{6}$ (ラジアン) = 30°

#### 問題4

点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離 $D$ は、次の式で求められます。

$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

(a) 原点 (0, 0, 0) と平面 $3x - 2y + 8z + 2 = 0$ との距離

$D = \frac{|3*0 - 2*0 + 8*0 + 2|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{9 + 4 + 64}} = \frac{2}{\sqrt{77}}$

(b) 点 (2, 1, -3) と平面 $3x - 2y + 8z + 2 = 0$ との距離

$D = \frac{|3*2 - 2*1 + 8*(-3) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2}} = \frac{|6 - 2 - 24 + 2|}{\sqrt{9 + 4 + 64}} = \frac{|-18|}{\sqrt{77}} = \frac{18}{\sqrt{77}}$

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3. 最終的な答え

問題2: $k = 2$

問題3: $\frac{\pi}{6}$ (ラジアン) または 30°

問題4:

(a) $\frac{2}{\sqrt{77}}$

(b) $\frac{18}{\sqrt{77}}$