$\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ の値を求めよ。ただし、$A$は鋭角である。

1. 問題の内容

$\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ の値を求めよ。ただし、$A$は鋭角である。

2. 解き方の手順

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ の関係式を用いて $\cos A$ を求める。

$\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入すると、

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \cos^2 A = 1$

$\frac{1}{3} + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$A$ は鋭角なので $\cos A > 0$ であるから、

$\cos A = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を用いて $\tan A$ を求める。

$\tan A = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan A = \frac{\sqrt{2}}{2}$