点O, A, Bが一直線上にない。$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}, \vec{OC}=\vec{b}-\vec{a}, \vec{OD}=\vec{a}+\vec{b}, \vec{OE}=\vec{a}-\vec{b}$である。線分OAを$x:(1-x)$に内分する点をPとする。直線PCと直線OBの交点をQ、直線QDと直線ABの交点をRとする。 (1) $\vec{OQ}$を$x, \vec{b}$を用いて表せ。 (2) $\vec{OR}$を$x, \vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。 (3) 直線REと直線OAとの交点がPと一致するとき、$x$の値を求めよ。 (4) $OA=OB=1, \angle AOB=60^\circ$のとき、$PQ^2$の値を求めよ（ただし、$x$は(3)で求めた値とする）。

1. 問題の内容

点O, A, Bが一直線上にない。$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}, \vec{OC}=\vec{b}-\vec{a}, \vec{OD}=\vec{a}+\vec{b}, \vec{OE}=\vec{a}-\vec{b}$である。線分OAを$x:(1-x)$に内分する点をPとする。直線PCと直線OBの交点をQ、直線QDと直線ABの交点をRとする。

(1) $\vec{OQ}$を$x, \vec{b}$を用いて表せ。

(2) $\vec{OR}$を$x, \vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

(3) 直線REと直線OAとの交点がPと一致するとき、$x$の値を求めよ。

(4) $OA=OB=1, \angle AOB=60^\circ$のとき、$PQ^2$の値を求めよ（ただし、$x$は(3)で求めた値とする）。

2. 解き方の手順

(1) Qは直線OB上にあるので、$\vec{OQ}=k\vec{b}$とおける。

Qは直線PC上にあるので、$\vec{OQ}=s\vec{OP}+(1-s)\vec{OC}$ と表せる。ここで$\vec{OP} = x\vec{a}$である。

したがって、$\vec{OQ}=sx\vec{a}+(1-s)(\vec{b}-\vec{a}) = (sx-1+s)\vec{a}+(1-s)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、$sx-1+s = 0$かつ$1-s=k$

$s(x+1)=1$より、$s=\frac{1}{x+1}$

$k=1-s = 1-\frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$

よって、$\vec{OQ}=\frac{x}{x+1}\vec{b}$

(2) Rは直線AB上にあるので、$\vec{OR} = t\vec{OA}+(1-t)\vec{OB} = t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$とおける。

Rは直線QD上にあるので、$\vec{OR} = u\vec{OQ}+(1-u)\vec{OD} = u\frac{x}{x+1}\vec{b}+(1-u)(\vec{a}+\vec{b}) = (1-u)\vec{a}+(\frac{ux}{x+1}+1-u)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、$t=1-u$かつ$1-t = \frac{ux}{x+1}+1-u$

$u=1-t$を代入して、$1-t = \frac{(1-t)x}{x+1}+1-(1-t)$

$1-t = \frac{x-tx}{x+1}+t$

$2t-1=\frac{tx-x}{x+1}$

$(2t-1)(x+1)=tx-x$

$2tx+2t-x-1 = tx-x$

$tx = 1-2t$

$t(x+2)=1$

$t = \frac{1}{x+2}$

$\vec{OR} = \frac{1}{x+2}\vec{a}+(1-\frac{1}{x+2})\vec{b} = \frac{1}{x+2}\vec{a}+\frac{x+1}{x+2}\vec{b}$

(3) $\vec{OP}=x\vec{a}, \vec{OE}=\vec{a}-\vec{b}$。

Pが直線RE上にあるので、$\vec{OP}=v\vec{OR}+(1-v)\vec{OE}$と表せる。

$\vec{OP} = v(\frac{1}{x+2}\vec{a}+\frac{x+1}{x+2}\vec{b})+(1-v)(\vec{a}-\vec{b}) = (\frac{v}{x+2}+1-v)\vec{a}+(\frac{vx+v}{x+2}-1+v)\vec{b}$

$\vec{OP} = x\vec{a}$なので、$\frac{v}{x+2}+1-v = x$かつ$\frac{vx+v}{x+2}-1+v = 0$

$\frac{vx+v}{x+2}-1+v = 0$を変形すると、

$vx+v-(x+2)+(x+2)v = 0$

$vx+v-x-2+vx+2v = 0$

$2vx+4v-x-2 = 0$

$2v(x+2) = x+2$

$v = \frac{1}{2}$

$\frac{v}{x+2}+1-v = x$に代入すると、

$\frac{1/2}{x+2}+1-\frac{1}{2} = x$

$\frac{1}{2(x+2)}+\frac{1}{2} = x$

$1+x+2 = 2x(x+2)$

$x+3 = 2x^2+4x$

$2x^2+3x-3 = 0$

$x = \frac{-3\pm\sqrt{9-4(2)(-3)}}{4} = \frac{-3\pm\sqrt{33}}{4}$

$0<x<1$より、$x = \frac{-3+\sqrt{33}}{4}$

(4) $\vec{OQ} = \frac{x}{x+1}\vec{b}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ}-\vec{OP} = \frac{x}{x+1}\vec{b}-x\vec{a}$

$PQ^2 = |\vec{PQ}|^2 = |\frac{x}{x+1}\vec{b}-x\vec{a}|^2 = (\frac{x}{x+1})^2|\vec{b}|^2-2\frac{x^2}{x+1}\vec{a}\cdot\vec{b}+x^2|\vec{a}|^2$

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$、$\angle AOB = 60^\circ$なので$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 1\cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$PQ^2 = (\frac{x}{x+1})^2-2\frac{x^2}{x+1}\frac{1}{2}+x^2 = \frac{x^2}{(x+1)^2}-\frac{x^2}{x+1}+x^2$

$PQ^2 = x^2(\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}+1) = x^2(\frac{1-(x+1)+(x+1)^2}{(x+1)^2}) = x^2(\frac{1-x-1+x^2+2x+1}{(x+1)^2})$

$PQ^2 = x^2(\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2})$

$x = \frac{-3+\sqrt{33}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OQ} = \frac{x}{x+1}\vec{b}$

(2) $\vec{OR} = \frac{1}{x+2}\vec{a}+\frac{x+1}{x+2}\vec{b}$

(3) $x = \frac{-3+\sqrt{33}}{4}$

(4) $PQ^2 = x^2(\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2})$、ただし$x = \frac{-3+\sqrt{33}}{4}$

$x = \frac{-3+\sqrt{33}}{4} \approx 0.686$を代入すると

$PQ^2 \approx 0.686^2\frac{0.686^2+0.686+1}{(0.686+1)^2} \approx 0.470596\frac{0.470596+0.686+1}{2.842756} \approx 0.470596\frac{2.156596}{2.842756} \approx 0.35642$

$PQ^2=\frac{13-3\sqrt{33}}{8}$

$PQ^2 \approx 0.3564$