正八角形の頂点を結んでできる三角形について、以下の2つの問いに答える。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数を求めよ。 (2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めよ。

1. 問題の内容

正八角形の頂点を結んでできる三角形について、以下の2つの問いに答える。

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数を求めよ。

(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数を求める。

正八角形の隣り合う2辺を共有する三角形を考えると、正八角形の頂点の数だけ、そのような三角形が存在する。

(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

まず、正八角形の1つの辺を選ぶ。この辺を共有する三角形を作るには、残りの1つの頂点を選ぶ必要がある。ただし、選んだ辺の両隣の頂点を選ぶと2辺を共有する三角形になってしまうので、それらの頂点は除く必要がある。

したがって、選んだ1つの辺に対して、残りの頂点の候補は $8 - 4 = 4$個となる。

正八角形の辺は8個あるので、候補となる三角形の総数は$8 \times 4 = 32$個である。

ただし、この方法では、同じ三角形を2回数えてしまっている場合がある（例えば、辺ABを共有する場合と、辺ACを共有する場合で、同じ三角形ABCを数えてしまう場合）。しかし今回は一つの辺だけを共有する三角形なので、このような重複はない。

3. 最終的な答え

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数は8個。

(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数は32個。