2つの円、$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9$ と $x^2 + y^2 = r^2$ が共有点を持たないような定数 $r$ の値の範囲を求める。ただし、$r > 0$とする。

1. 問題の内容

2つの円、$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9$ と $x^2 + y^2 = r^2$ が共有点を持たないような定数 $r$ の値の範囲を求める。ただし、$r > 0$とする。

2. 解き方の手順

円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9$ は中心が $(3,4)$ で半径が $3$ の円である。円 $x^2 + y^2 = r^2$ は中心が $(0,0)$ で半径が $r$ の円である。2つの円が共有点を持たない条件は、

(i) 一方の円が他方の円の内部に完全に入っている場合

(ii) 2つの円が離れている場合

の2つの場合に分けられる。

(i) の場合：円 $x^2 + y^2 = r^2$ が円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9$ の内部に完全に入っている場合、2円の中心間の距離が2つの円の半径の差より小さい。中心間の距離は $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ である。よって、

$5 < 3-r$ もしくは $5 < r-3$ となる。

$r>0$より、$|r-3| > 5$が条件となる。

(1) $r-3>5$ のとき、$r > 8$

(2) $r-3<-5$ のとき、$r < -2$ これは $r>0$ に反するので不適。

$5 < |3-r|$のとき

(1) $3-r>5$ のとき、$r<-2$ これは $r>0$ に反するので不適。

(2) $3-r<-5$ のとき、$r>8$

2つの円が接しない条件は、$d > r_1 + r_2$ または $d < |r_1 - r_2|$。ここで$d$は2つの円の中心間の距離、$r_1, r_2$ はそれぞれの円の半径である。

この問題では、$d = 5$, $r_1 = 3$, $r_2 = r$ であるから、

$5 > |3-r|$ または $5 > |r-3|$ および $5 < 3+r$ を満たす。

$5 < 3+r$ より、$r > 2$ が必要である。

(1) $5 < 3+r$ は常に成立。

2つの円が接しないのは

(i) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ が $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9$ の外部にあるとき

$5 > r+3$ より、$r < 2$

(ii) 円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9$ が $x^2 + y^2 = r^2$ の外部にあるとき

$5 < |3-r|$

$5 < 3-r$ -> $r < -2$ 不適

$5 < r-3$ -> $r > 8$

したがって、$0 < r < 2$ または $r > 8$

3. 最終的な答え

$0 < r < 2$ または $r > 8$