中心が第1象限にあり、$x$軸、$y$軸、および直線 $3x + 4y - 12 = 0$ に接する円の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が第1象限にあり、$x$軸、$y$軸、および直線 $3x + 4y - 12 = 0$ に接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の中心の座標を $(r, r)$ とする。ここで、$r$ は円の半径である。なぜなら、円が $x$ 軸と $y$ 軸に接しているので、中心の座標は $(r, r)$ と表せる。また、$r > 0$ である。

次に、円の中心 $(r, r)$ と直線 $3x + 4y - 12 = 0$ の距離が円の半径 $r$ に等しいことを利用する。点と直線の距離の公式より、

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\frac{|3r + 4r - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = r

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\frac{|7r - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = r

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\frac{|7r - 12|}{\sqrt{25}} = r

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\frac{|7r - 12|}{5} = r

$$$$

絶対値を外して考える。

場合1: $7r - 12 \ge 0$ つまり $r \ge \frac{12}{7}$ のとき

$\frac{7r - 12}{5} = r$

$7r - 12 = 5r$

$2r = 12$

$r = 6$

これは $r \ge \frac{12}{7}$ を満たす。

場合2: $7r - 12 < 0$ つまり $r < \frac{12}{7}$ のとき

$\frac{-(7r - 12)}{5} = r$

$-7r + 12 = 5r$

$12 = 12r$

$r = 1$

これは $r < \frac{12}{7}$ を満たす。

したがって、$r = 1$ または $r = 6$ である。

円の方程式は $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ なので、$r = 1$ のとき $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$、$r = 6$ のとき $(x - 6)^2 + (y - 6)^2 = 36$。

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

$(x - 6)^2 + (y - 6)^2 = 36$