この問題は、様々な数学の問題に答えるものです。内容は、2点間の距離、線分の内分点・外分点、三角形の重心、直線の方程式、2直線の関係、点と直線の距離、円の方程式、円の接線など多岐に渡ります。

1. 問題の内容

この問題は、様々な数学の問題に答えるものです。内容は、2点間の距離、線分の内分点・外分点、三角形の重心、直線の方程式、2直線の関係、点と直線の距離、円の方程式、円の接線など多岐に渡ります。

2. 解き方の手順

各問題について、順に解き方を説明します。

(1) 2点間の距離の公式は $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ です。

点A(2, -1), B(4, 3) の距離ABは、

$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

原点O(0, 0)と点A(2, -1) の距離OAは、

$OA = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

(2) 線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は、 $(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$ です。

A(-1, 6), B(4, 1) を 3:2 に内分する点の座標は、

$(\frac{2(-1) + 3(4)}{3+2}, \frac{2(6) + 3(1)}{3+2}) = (\frac{-2 + 12}{5}, \frac{12 + 3}{5}) = (\frac{10}{5}, \frac{15}{5}) = (2, 3)$

(3) 線分ABを $m:n$ に外分する点の座標は、 $(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$ です。

A(-3, 2), B(4, 5) を 2:3 に外分する点の座標は、

$(\frac{-3(-3) + 2(4)}{2-3}, \frac{-3(2) + 2(5)}{2-3}) = (\frac{9 + 8}{-1}, \frac{-6 + 10}{-1}) = (\frac{17}{-1}, \frac{4}{-1}) = (-17, -4)$

線分ABの中点の座標は、$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ です。

A(-3, 2), B(4, 5) の中点の座標は、

$(\frac{-3 + 4}{2}, \frac{2 + 5}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

(4) 三角形ABCの重心の座標は、 $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ です。

A(1, 1), B(5, 2), C(3, 4) の重心の座標は、

$(\frac{1 + 5 + 3}{3}, \frac{1 + 2 + 4}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{7}{3}) = (3, \frac{7}{3})$

(5) 点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ です。

点(1, -3) を通り、傾きが2の直線の方程式は、

$y - (-3) = 2(x - 1) \implies y + 3 = 2x - 2 \implies y = 2x - 5$

(6) 2点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は、$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ です。

(3, 2), (5, 6)を通る直線の方程式は、

$y - 2 = \frac{6 - 2}{5 - 3}(x - 3) \implies y - 2 = \frac{4}{2}(x - 3) \implies y - 2 = 2(x - 3) \implies y - 2 = 2x - 6 \implies y = 2x - 4$

(7) 2点 (3, -1), (3, 4) を通る直線の方程式は、x座標が同じなので、$x = 3$

(8) (i) $y = 4x + 1$と$x = \frac{1}{4}y - \frac{1}{4}$、これは$y = 4x+1$と同じなので、一致する。

(ii) $y = 3x - 1$ と $x + 3y + 2 = 0 \implies 3y = -x - 2 \implies y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$。傾きの積は $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ なので、垂直。

(iii) $2x + 3y = 3$ と $4x + 6y = 5$。$4x+6y = 2(2x+3y) = 2(3) = 6 \ne 5$。なので平行で一致しない。

(10) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は、 $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。

点 (1, -2) と直線 $3x + 4y + 4 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|3(1) + 4(-2) + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-1|}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$

(11) 中心が (2, 3), 半径が4の円の方程式は、 $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 = 16$

(12) 方程式 $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$ を変形します。

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) = 6$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = 6 + 9 + 1$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16 = 4^2$

中心は (3, -1) で、半径は4です。

(13) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、$x_1x + y_1y = r^2$ です。

円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 P(3, 1) における接線の方程式は、$3x + 1y = 10 \implies 3x + y = 10$

3. 最終的な答え

ア: $2\sqrt{5}$

イ: $\sqrt{5}$

ウ: (2, 3)

エ: (-17, -4)

オ: ($\frac{1}{2}$, $\frac{7}{2}$)

カ: (3, $\frac{7}{3}$)

キ: $y = 2x - 5$

ク: $y = 2x - 4$

ケ: $x=3$

コ: ③

サ: ②

シ: ①

ス: $\frac{1}{5}$

セ: 2

ソ: 3

タ: 16

チ: (3, -1)

ツ: 4

テ: $3x + y = 10$