$AB=6$, $BC=4$, $CA=5$ である $\triangle ABC$ があり、$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とする。また、$\triangle BCD$ の外接円と辺 $AB$ の交点のうち、$B$ と異なる点を $E$ とする。 (1) 線分 $AD$ の長さを求めよ。 (2) 線分 $AE$ の長さを求めよ。また、直線 $DE$ と直線 $BC$ の交点を $F$ とするとき、$\frac{BF}{FC}$ の値を求めよ。 (3) (2) のとき、線分 $FC$ の長さを求めよ。また、線分 $FD$ の長さを求めよ。

## 左側の問題

1. 問題の内容

$AB=6$, $BC=4$, $CA=5$ である $\triangle ABC$ があり、$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とする。また、$\triangle BCD$ の外接円と辺 $AB$ の交点のうち、$B$ と異なる点を $E$ とする。

(1) 線分 $AD$ の長さを求めよ。

(2) 線分 $AE$ の長さを求めよ。また、直線 $DE$ と直線 $BC$ の交点を $F$ とするとき、$\frac{BF}{FC}$ の値を求めよ。

(3) (2) のとき、線分 $FC$ の長さを求めよ。また、線分 $FD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$AD:DC = AB:BC = 6:4 = 3:2$。

$AD+DC = AC = 5$ であるから、$AD = \frac{3}{3+2} \times 5 = \frac{3}{5} \times 5 = 3$。

(2) $\angle EBD = \angle CBD$ であり、円周角の定理より、$\angle ECD = \angle EBD = \angle CBD = \angle EBC$。よって、$BE$ は $\angle ABC$ の二等分線なので、$AE=AD=3$。

方べきの定理より、$BF \times BC = BE \times BA$。 $BE = AB - AE = 6-3 = 3$。

$BF \times 4 = 3 \times 6 = 18$。よって、$BF = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$。

$FC = BC - BF = 4 - \frac{9}{2} = \frac{8}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$。

ただし、$F$は線分 $BC$ 上にないことに注意して、$FC = |4-\frac{9}{2}| = \frac{1}{2}$。

$\frac{BF}{FC} = \frac{9/2}{1/2} = 9$。

(3) メネラウスの定理より、$\triangle ABC$において、$BF/FC \cdot CA/AD \cdot DE/EB = 1$ なので、$9 \cdot 5/3 \cdot DE/3 = 1$。よって、$DE = \frac{3 \times 3}{9 \times 5} = \frac{1}{5}$。

$\triangle ADE \sim \triangle CFE$ であるから、$AD/CF = DE/FE = AE/CE$。

$FD = FE + ED$ であり、$\triangle BFE \sim \triangle CFD$ であるから、$BF/CF= FE/DF = BE/CD$。

$BF=\frac{9}{2}$, $FC = \frac{1}{2}$ より、$\frac{BF}{FC} = 9$ なので、$FE/DF = FE/(FE+ED) = 9$。

$FE = 9(FE+ED)$ なので、 $-8FE = 9ED = 9/5$。

$FE = -9/40$。

$DF = FE+ED = \frac{-9}{40} + \frac{1}{5} = \frac{-9+8}{40} = -\frac{1}{40}$。

ただし、$D, E, F$ の位置関係より、$FD$はマイナスにならないため、$FE = | - \frac{9}{40}|= \frac{9}{40}$

$FD = \frac{9}{40} + \frac{1}{5} = \frac{9+8}{40} = \frac{17}{40}$。

3. 最終的な答え

(1) $AD=3$

(2) $AE=3$, $\frac{BF}{FC}=9$

(3) $FC=\frac{1}{2}$, $FD=\frac{17}{40}$

## 右側の問題

1. 問題の内容

$AB=10$, $AC=14$ である $\triangle ABC$ がある。辺 $AC$ を直径とする円 $O$ が辺 $BC$ 上の点 $D$ を通っており、$CD=11$ である。

(1) 線分 $AD$, $BD$ の長さをそれぞれ求めよ。

(2) 円 $O$ と辺 $AB$ の交点のうち、$A$ でない方の点を $E$ とする。線分 $BE$, $DE$ の長さをそれぞれ求めよ。

(3) (2) のとき、2 直線 $AC$ と $DE$ の交点を $F$ とする。$\frac{AF}{FC}$ の値を求めよ。また、$\triangle AFE$ の面積を $S$ とし、$\triangle BDE$ の面積を $T$ とする。$\frac{S}{T}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle ADC = 90^\circ$ より、$\triangle ADC$ は直角三角形である。$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{14^2 - 11^2} = \sqrt{196-121} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$。

$\triangle ABC$ で $AC$ が直径なので、$AD \perp BC$ である。

$\triangle ABD$ において、三平方の定理は使えないが、余弦定理を使う。

$\angle ADB = 90^\circ$ であるので、$AB^2 = AD^2 + BD^2$。

$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 75} = \sqrt{25} = 5$。

(2) $AE$ が円の弦なので、$\angle AEA = 90^{\circ}$ である。

$\angle AED = 90^{\circ}$。

$\angle ACD = \angle ABE$ である。（円周角の定理）

$\triangle ACD \sim \triangle ABE$。

$\frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BE}$ より、$\frac{AE}{5\sqrt{3}} = \frac{14}{10} = \frac{11}{BE}$

$AE = \frac{14}{10} \times 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

$BE = \frac{10}{14} \times 11 = \frac{5}{7} \times 11 = \frac{55}{7}$。

$DE$ を求める。$\angle AED=90^{\circ}$なので、$AD^2 = AE^2+DE^2$ は誤り。

$\triangle ADE$ において余弦定理より、$AD^2=AE^2+DE^2 - 2AE \cdot DE \cdot \cos \angle AED$。

$\cos \angle AED= \cos 90^{\circ} = 0$なので、$AD^2 + AE^2 +DE^2$ は使えない。

3. 最終的な答え

(1) $AD=5\sqrt{3}$, $BD=5$

(2) $BE=\frac{55}{7}$

(3) 解答できませんでした