三角形ABCがあり、AB=4, BC=5, CA=3である。A, B, Cを中心とする3つの円が互いに外接している。(1)Aを中心とする円の半径を求めよ。(2)三角形ABCの内心をN、外心をOとするとき、三角形ABCの内接円の半径rとNOの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=4, BC=5, CA=3である。A, B, Cを中心とする3つの円が互いに外接している。(1)Aを中心とする円の半径を求めよ。(2)三角形ABCの内心をN、外心をOとするとき、三角形ABCの内接円の半径rとNOの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

Aを中心とする円の半径を$r_A$、Bを中心とする円の半径を$r_B$、Cを中心とする円の半径を$r_C$とする。

円が互いに外接しているので、以下の式が成り立つ。

$r_A + r_B = AB = 4$

$r_B + r_C = BC = 5$

$r_C + r_A = CA = 3$

これらの式を足し合わせると、

$2(r_A + r_B + r_C) = 4 + 5 + 3 = 12$

$r_A + r_B + r_C = 6$

$r_A = (r_A + r_B + r_C) - (r_B + r_C) = 6 - 5 = 1$

(2)

まず、内接円の半径rを求める。三角形ABCの面積Sをヘロンの公式で求める。

$s = (AB + BC + CA) / 2 = (4 + 5 + 3) / 2 = 6$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)} = \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$

$S = rs$より、$r = S / s = 6 / 6 = 1$

次に、外心Oと内心Nの距離NOを求める。オイラーの定理を用いる。

$ON^2 = R(R - 2r)$

ここでRは外接円の半径である。

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot 6} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2}$

$ON^2 = \frac{5}{2} (\frac{5}{2} - 2 \cdot 1) = \frac{5}{2} (\frac{5}{2} - \frac{4}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

$ON = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) Aを中心とする円の半径: 1

(2) 内接円の半径r: 1

NOの長さ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$