円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=2, CD=3, DA=4$であるとき、四角形ABCDの面積Sを求めます。$\triangle ABD$と$\triangle BCD$に対して適切な定理を用いて、$BD$, $\cos A$, そして$S$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=2, CD=3, DA=4$であるとき、四角形ABCDの面積Sを求めます。$\triangle ABD$と$\triangle BCD$に対して適切な定理を用いて、$BD$, $\cos A$, そして$S$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$と$\triangle BCD$に対して余弦定理を適用します。したがって、4には②が入ります。

(2) $\triangle ABD$において、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD)\cos A$

$BD^2 = 2^2 + 4^2 - 2(2)(4)\cos A = 20 - 16\cos A$

(3) $\triangle BCD$において、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)\cos C$

$BD^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\cos C = 13 - 12\cos C$

(4) 円に内接する四角形なので、$A + C = 180^\circ$。したがって、$\cos C = \cos (180^\circ - A) = -\cos A$。

$BD^2 = 13 + 12\cos A$

(5) (2)と(4)の結果から、

$20 - 16\cos A = 13 + 12\cos A$

$7 = 28\cos A$

$\cos A = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$。したがって、6には1、7には4が入ります。

(6) $BD^2 = 13 + 12\cos A = 13 + 12(\frac{1}{4}) = 13 + 3 = 16$

$BD = 4$。したがって、5には4が入ります。

(7) 四角形ABCDの面積$S$は、$S = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{1}{2}(AB)(AD)\sin A + \frac{1}{2}(BC)(CD)\sin C$。

$S = \frac{1}{2}(2)(4)\sin A + \frac{1}{2}(2)(3)\sin C = 4\sin A + 3\sin C$。

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$。

$\sin C = \sin (180^\circ - A) = \sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$。

$S = 4(\frac{\sqrt{15}}{4}) + 3(\frac{\sqrt{15}}{4}) = \sqrt{15} + \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{7\sqrt{15}}{4}$。

したがって、8には7、9には1、10には5、11には4が入ります。

3. 最終的な答え

$BD = 4$

$\cos A = \frac{1}{4}$

$S = \frac{7\sqrt{15}}{4}$