三角形において、与えられた辺の長さや角の大きさから、指定された辺の長さ、三角形の外接円の直径、三角形の面積、三角比の値を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形において、与えられた辺の長さや角の大きさから、指定された辺の長さ、三角形の外接円の直径、三角形の面積、三角比の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

a = 8, b = 6, C = 120°とする。

まず、余弦定理を用いてcを求める。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

$c^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos{120^\circ}$

$c^2 = 64 + 36 - 96 \cdot (-1/2) = 100 + 48 = 148$

$c = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$

正弦定理を用いて外接円の直径を求める。外接円の半径をRとすると、

$\frac{c}{\sin{C}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{37}}{\sin{120^\circ}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{37}}{\sqrt{3}/2} = 2R$

$2R = \frac{4\sqrt{37}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{111}}{3}$

外接円の直径は$\frac{4\sqrt{111}}{3}$である。

三角形の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}ab\sin{C} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin{120^\circ} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

余弦定理を用いて$\cos{A}$を求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

$64 = 36 + 148 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{37} \cos{A}$

$64 = 184 - 24\sqrt{37} \cos{A}$

$24\sqrt{37} \cos{A} = 120$

$\cos{A} = \frac{120}{24\sqrt{37}} = \frac{5}{\sqrt{37}} = \frac{5\sqrt{37}}{37}$

正弦定理を用いて$\sin{C}$を求める。

$\sin{C} = \sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

A = 45°, B = 60°とする。

C = 180° - 45° - 60° = 75°

b = 8

正弦定理を用いて辺ACの長さaを求める。

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}}$

$\frac{a}{\sin{45^\circ}} = \frac{8}{\sin{60^\circ}}$

$a = \frac{8 \sin{45^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$

正弦定理を用いて辺ABの長さcを求める。

$\frac{c}{\sin{C}} = \frac{b}{\sin{B}}$

$c = \frac{8 \sin{75^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}( \sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3})}{} = \frac{4\sqrt{2}(1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{2}+4\sqrt{\frac{2}{3}} =4\sqrt{2}+4\sqrt{\frac{2}{3}}$

正弦定理を用いて外接円の直径を求める。外接円の半径をRとすると、

$\frac{b}{\sin{B}} = 2R$

$\frac{8}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$2R = \frac{8}{\sqrt{3}/2} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

三角形の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}ac\sin{B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} \cdot (4\sqrt{2} + \frac{4 \sqrt{6}}{3}) \cdot \sin{60^\circ}$

$\frac{\sin{C}}{\sin{A}} = \frac{\sin{75^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

辺ACの長さ: $2\sqrt{37}$

三角形ABCの外接円の直径: $\frac{4\sqrt{111}}{3}$

三角形ABCの面積: $12\sqrt{3}$

cos A: $\frac{5\sqrt{37}}{37}$

sin C: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

辺ACの長さ: $\frac{8\sqrt{6}}{3}$

辺ABの長さ: $\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

三角形ABCの外接円の直径: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

三角形ABCの面積: 複雑で求めきれません。

sin C / sin A : $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$