問題は3つあります。 1. 点A(-1, 3) と点B(3, 1) が与えられたとき、線分ABを2:1に内分する点Pの座標と、1:2に外分する点Qの座標を求める。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. 点A(-1, 3) と点B(3, 1) が与えられたとき、線分ABを2:1に内分する点Pの座標と、1:2に外分する点Qの座標を求める。

2. 点A(4, 2)に関して、点P(1, 1) と対称な点Qの座標を求める。

3. 点A(2, 7), B(-6, -4), C(7, -6) を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求める。

2. 解き方の手順

1. (1) 線分ABを2:1に内分する点Pの座標を求める。

内分点の公式は、点A($x_1$, $y_1$)と点B($x_2$, $y_2$)を結ぶ線分をm:nに内分する点の座標(x, y)は以下の通りです。

$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$, $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

A(-1, 3), B(3, 1), m=2, n=1を代入すると、

$x = \frac{1*(-1) + 2*3}{2+1} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}$

$y = \frac{1*3 + 2*1}{2+1} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

(2) 線分ABを1:2に外分する点Qの座標を求める。

外分点の公式は、点A($x_1$, $y_1$)と点B($x_2$, $y_2$)を結ぶ線分をm:nに外分する点の座標(x, y)は以下の通りです。

$x = \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$, $y = \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

A(-1, 3), B(3, 1), m=1, n=2を代入すると、

$x = \frac{-2*(-1) + 1*3}{1-2} = \frac{2 + 3}{-1} = -5$

$y = \frac{-2*3 + 1*1}{1-2} = \frac{-6 + 1}{-1} = 5$

2. 点A(4, 2)に関して、点P(1, 1) と対称な点Qの座標を求める。

点Aが線分PQの中点になるので、点Qの座標を(x, y)とすると、

$\frac{1+x}{2} = 4$, $\frac{1+y}{2} = 2$

$1+x = 8$, $1+y = 4$

$x = 7$, $y = 3$

3. 点A(2, 7), B(-6, -4), C(7, -6) を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求める。

重心の公式は、点A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$), C($x_3$, $y_3$)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標(x, y)は以下の通りです。

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

A(2, 7), B(-6, -4), C(7, -6)を代入すると、

$x = \frac{2 + (-6) + 7}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{7 + (-4) + (-6)}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

3. 最終的な答え

1. (1) P($\frac{5}{3}$, $\frac{5}{3}$)

(2) Q(-5, 5)

2. Q(7, 3)

3. G(1, -1)