与えられた三角関数の式 $\sin(90^\circ - \theta)\cos(180^\circ - \theta) - \cos^2\theta \tan^2(180^\circ - \theta)$ を簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $\sin(90^\circ - \theta)\cos(180^\circ - \theta) - \cos^2\theta \tan^2(180^\circ - \theta)$ を簡略化せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の性質を利用して式を簡略化します。

- $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$

- $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$

- $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$

これらの関係式を元の式に代入します。

$\sin(90^\circ - \theta)\cos(180^\circ - \theta) - \cos^2\theta \tan^2(180^\circ - \theta) = (\cos\theta)(-\cos\theta) - \cos^2\theta(-\tan\theta)^2$

$= -\cos^2\theta - \cos^2\theta\tan^2\theta$

$= -\cos^2\theta - \cos^2\theta \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$

$= -\cos^2\theta - \sin^2\theta$

$= -(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$

三角関数の基本公式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を利用します。

$= -1$

3. 最終的な答え

-1