平行六面体 OADB-CLMN において、$\triangle ABC$ の重心を G とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、3点 O, G, M が一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行六面体 OADB-CLMN において、$\triangle ABC$ の重心を G とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、3点 O, G, M が一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、重心Gの位置ベクトル $\vec{OG}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表す。

重心Gは$\triangle ABC$ の重心であるから、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

次に、点Mの位置ベクトル $\vec{OM}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表す。

平行六面体 OADB-CLMN より、$\vec{OM} = \vec{OL} + \vec{LM} = \vec{OC} + \vec{OB} + \vec{OA} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

最後に、$\vec{OG}$ と $\vec{OM}$ の関係を調べる。

$\vec{OM} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = 3 \vec{OG}$

したがって、$\vec{OM} = 3\vec{OG}$ であるから、$\vec{OM}$ は $\vec{OG}$ の定数倍である。つまり、$\vec{OG}$ と $\vec{OM}$ は平行である。

さらに、$\vec{OG}$ と $\vec{OM}$ は始点を O と共通に持つので、点O, G, Mは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点 O, G, M は一直線上にある。