平行六面体 OADB-CEGF において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。辺 DG の延長上に DG = GH となる点 H をとる。直線 OH と平面 ABC の交点を L とするとき、$\vec{OL}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行六面体 OADB-CEGF において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。辺 DG の延長上に DG = GH となる点 H をとる。直線 OH と平面 ABC の交点を L とするとき、$\vec{OL}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 H の位置ベクトル $\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{OG} = \vec{OD} + \vec{OC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH}$

$\vec{DG} = \vec{OG} - \vec{OD} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{c}$

問題文より DG = GH なので、$\vec{GH} = \vec{DG} = \vec{c}$

よって、$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$

次に、点 L が直線 OH 上にあるので、実数 k を用いて $\vec{OL} = k\vec{OH} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})$ と表せる。

また、点 L が平面 ABC 上にあるので、実数 s, t を用いて

$\vec{AL} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{OL} - \vec{OA} = s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OL} = \vec{OA} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OL} = (1 - s - t)\vec{OA} + s\vec{OB} + t\vec{OC} = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{OL} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c}$と $\vec{OL} = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$ の係数を比較すると、

$k = 1 - s - t$

$k = s$

$2k = t$

これらを解くと、$k = 1 - k - 2k$ より、$4k = 1$, $k = \frac{1}{4}$

$s = \frac{1}{4}$

$t = \frac{1}{2}$

よって、$\vec{OL} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OL} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$