この問題は、以下の3つの問題で構成されています。 1. 2点A(-1, 3), B(3, 1)について、線分ABを2:1に内分する点Pの座標と、線分ABを1:2に外分する点Qの座標を求める問題。

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの問題で構成されています。

1. 2点A(-1, 3), B(3, 1)について、線分ABを2:1に内分する点Pの座標と、線分ABを1:2に外分する点Qの座標を求める問題。

2. 点A(4, 2)に関して、点P(1, 1)と対称な点Qの座標を求める問題。

3. 3点A(2, 7), B(-6, -4), C(7, -6)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求める問題。

2. 解き方の手順

1. (1) 内分点の座標は、点A$(x_1, y_1)$と点B$(x_2, y_2)$を結ぶ線分をm:nに内分する点Pの座標を$(x, y)$とすると、以下の式で求められます。

$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

$y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

この問題の場合、A(-1, 3), B(3, 1)を2:1に内分するので、

$x = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3}{2+1} = \frac{-1+6}{3} = \frac{5}{3}$

$y = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 1}{2+1} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$

したがって、点Pの座標は$(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$です。

(2) 外分点の座標は、点A$(x_1, y_1)$と点B$(x_2, y_2)$を結ぶ線分をm:nに外分する点Qの座標を$(x, y)$とすると、以下の式で求められます。

$x = \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

$y = \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

この問題の場合、A(-1, 3), B(3, 1)を1:2に外分するので、

$x = \frac{-2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3}{1-2} = \frac{2+3}{-1} = -5$

$y = \frac{-2 \cdot 3 + 1 \cdot 1}{1-2} = \frac{-6+1}{-1} = 5$

したがって、点Qの座標は$(-5, 5)$です。

2. 点Aに関して点Pと対称な点Qの座標を求めます。点Aは線分PQの中点になるので、点Qの座標を(x, y)とすると、

$\frac{x+1}{2} = 4$

$\frac{y+1}{2} = 2$

これを解くと、

$x+1 = 8 \Rightarrow x = 7$

$y+1 = 4 \Rightarrow y = 3$

したがって、点Qの座標は(7, 3)です。

3. 三角形の重心の座標は、3つの頂点の座標の平均を取ることで求められます。

すなわち、A$(x_1, y_1)$, B$(x_2, y_2)$, C$(x_3, y_3)$を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を$(x, y)$とすると、以下の式で求められます。

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

この問題の場合、A(2, 7), B(-6, -4), C(7, -6)なので、

$x = \frac{2 + (-6) + 7}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{7 + (-4) + (-6)}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

したがって、重心Gの座標は(1, -1)です。

3. 最終的な答え

1. (1) P($\frac{5}{3}$, $\frac{5}{3}$)

(2) Q(-5, 5)

2. Q(7, 3)

3. G(1, -1)