空間内の3点 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 2, 1)$, $B(1, 4, -3)$ について、2点 $A$, $B$ から等距離にある $z$ 軸上の点 $P$ の座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の3点 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 2, 1)$, $B(1, 4, -3)$ について、2点 $A$, $B$ から等距離にある $z$ 軸上の点 $P$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

$z$ 軸上の点 $P$ の座標は、ある実数 $t$ を用いて $P(0, 0, t)$ と表せる。

点 $A$ と点 $P$ の距離 $AP$ は、

$AP = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (1 - t)^2} = \sqrt{1 + 4 + (1 - t)^2} = \sqrt{5 + (1 - t)^2} = \sqrt{5 + 1 - 2t + t^2} = \sqrt{t^2 - 2t + 6}$

点 $B$ と点 $P$ の距離 $BP$ は、

$BP = \sqrt{(1 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (-3 - t)^2} = \sqrt{1 + 16 + (-3 - t)^2} = \sqrt{17 + (t + 3)^2} = \sqrt{17 + t^2 + 6t + 9} = \sqrt{t^2 + 6t + 26}$

$AP = BP$ より、

$\sqrt{t^2 - 2t + 6} = \sqrt{t^2 + 6t + 26}$

両辺を2乗すると、

$t^2 - 2t + 6 = t^2 + 6t + 26$

$-2t + 6 = 6t + 26$

$-8t = 20$

$t = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2}$

したがって、$P$ の座標は $(0, 0, -\frac{5}{2})$ となる。

3. 最終的な答え

$(0, 0, -\frac{5}{2})$