直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

ABの長さを $x$ とすると、BCの長さは $10-x$ と表せる。ただし、$x>0$ かつ $10-x>0$ であるから、$0<x<10$である。

三角形の面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2} \times x \times (10-x)$

$S = \frac{1}{2} (10x - x^2)$

$S = -\frac{1}{2} (x^2 - 10x)$

$S = -\frac{1}{2} ((x-5)^2 - 25)$

$S = -\frac{1}{2} (x-5)^2 + \frac{25}{2}$

$0 < x < 10$ の範囲で、$S$ を最大にする $x$ の値を求める。

$S = -\frac{1}{2} (x-5)^2 + \frac{25}{2}$ は、$x=5$ のとき最大値 $\frac{25}{2}$ をとる。

$x=5$ は $0 < x < 10$ を満たす。

3. 最終的な答え

$\frac{25}{2} \text{ cm}^2$