3点 A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2) が定める平面 ABC に、原点 O から垂線 OH を下ろす。このとき、点 H の座標と線分 OH の長さを求める。

1. 問題の内容

3点 A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2) が定める平面 ABC に、原点 O から垂線 OH を下ろす。このとき、点 H の座標と線分 OH の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、平面 ABC の方程式を求める。平面上の任意の点 P(x, y, z) に対して、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ が平面に平行である。したがって、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ に垂直なベクトルを法線ベクトル $\vec{n}$ とすることができる。

$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 3, 0)$

$\overrightarrow{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (-1, 0, 2)$

$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (6, 2, 3)$

したがって、平面 ABC の方程式は $6(x-1) + 2(y-0) + 3(z-0) = 0$ となり、

$6x + 2y + 3z - 6 = 0$

すなわち、

$6x + 2y + 3z = 6$

次に、直線 OH の方程式を求める。直線 OH は原点 O を通り、平面 ABC に垂直であるから、その方向ベクトルは平面 ABC の法線ベクトル $\vec{n} = (6, 2, 3)$ と平行である。したがって、直線 OH の方程式は、

$\vec{p} = t\vec{n} = (6t, 2t, 3t)$

ここで、$\vec{p} = (x, y, z)$ は直線 OH 上の点の位置ベクトルを表す。

点 H は平面 ABC 上にあるので、$x = 6t$, $y = 2t$, $z = 3t$ を平面 ABC の方程式に代入する。

$6(6t) + 2(2t) + 3(3t) = 6$

$36t + 4t + 9t = 6$

$49t = 6$

$t = \frac{6}{49}$

したがって、点 H の座標は、

$H = (6t, 2t, 3t) = (\frac{36}{49}, \frac{12}{49}, \frac{18}{49})$

最後に、線分 OH の長さを求める。

$OH = \sqrt{(\frac{36}{49})^2 + (\frac{12}{49})^2 + (\frac{18}{49})^2} = \sqrt{\frac{1296 + 144 + 324}{49^2}} = \sqrt{\frac{1764}{49^2}} = \frac{\sqrt{1764}}{49} = \frac{42}{49} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

点 H の座標は $(\frac{36}{49}, \frac{12}{49}, \frac{18}{49})$ であり、線分 OH の長さは $\frac{6}{7}$ である。