問題は2つの小問題から構成されています。 (1) 点 $(3, -2, 1)$ を中心とする半径 $2$ の球面の方程式を求めます。 (2) 2点 $A(5, 3, -2)$, $B(-1, 3, 2)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの小問題から構成されています。

(1) 点 $(3, -2, 1)$ を中心とする半径 $2$ の球面の方程式を求めます。

(2) 2点 $A(5, 3, -2)$, $B(-1, 3, 2)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 球面の方程式は、中心が $(a, b, c)$, 半径が $r$ のとき、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

で表されます。この問題では、中心が $(3, -2, 1)$, 半径が $2$ なので、この式に代入して求めます。

(2) 2点 $A(5, 3, -2)$ と $B(-1, 3, 2)$ を直径の両端とする球面の中心は、線分 $AB$ の中点です。中点の座標は、

$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2})$

で求められます。また、球面の半径は、線分 $AB$ の長さの半分です。線分 $AB$ の長さは、

$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

で求められます。求めた中心と半径を用いて、球面の方程式を求めます。

(1) の解答：

中心 $(3, -2, 1)$, 半径 $2$ なので、球面の方程式は

$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 1)^2 = 2^2$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 4$

(2) の解答：

中心は $A(5, 3, -2)$ と $B(-1, 3, 2)$ の中点なので、

$(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3 + 3}{2}, \frac{-2 + 2}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{6}{2}, \frac{0}{2}) = (2, 3, 0)$

よって、中心は $(2, 3, 0)$ です。

半径は線分 $AB$ の長さの半分なので、まず $AB$ の長さを求めます。

$AB = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (3 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

半径は $\frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$ です。

よって、球面の方程式は

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{13})^2$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 13$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 4$

(2) $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 13$