平行六面体 OADB-CEGF において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。辺 DG の延長上に DG = GH となる点 H をとる。直線 OH と平面 ABC の交点を L とするとき、$\vec{OL}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行六面体 OADB-CEGF において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。辺 DG の延長上に DG = GH となる点 H をとる。直線 OH と平面 ABC の交点を L とするとき、$\vec{OL}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Hの位置ベクトルを求めます。

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH}$

ここで $\vec{OG} = \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{b} + \vec{c}$ であり、$\vec{GH} = \vec{DG} = \vec{OA} = \vec{a}$ であるから、

$\vec{OH} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

次に、点 L が直線 OH 上にあることから、ある実数 $k$ を用いて $\vec{OL} = k \vec{OH}$ と表せる。

$\vec{OL} = k(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{OL} = k\vec{a} + k\vec{b} + k\vec{c}$.

点 L は平面 ABC 上にあるので、ある実数 $s, t$ を用いて $\vec{AL} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表せる。

$\vec{OL} = \vec{OA} + \vec{AL}$

$\vec{OL} = \vec{a} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OL} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a})$

$\vec{OL} = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$.

したがって、

$k\vec{a} + k\vec{b} + k\vec{c} = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、

$k = 1 - s - t$

$k = s$

$k = t$

これらより、

$k = 1 - k - k$

$3k = 1$

$k = \frac{1}{3}$

よって、

$\vec{OL} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

3. 最終的な答え

$\vec{OL} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$