以下の10個の不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (2) $\int (2x+3)^3 dx$ (3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$ (4) $\int \sqrt{2x+3} dx$ (5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$ (6) $\int \sin 3x dx$ (7) $\int e^{2x+3} dx$ (8) $\int x(2-x)^3 dx$ (9) $\int x\sqrt{1-x} dx$ (10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

はい、承知いたしました。画像に示された積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の10個の不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

(6) $\int \sin 3x dx$

(7) $\int e^{2x+3} dx$

(8) $\int x(2-x)^3 dx$

(9) $\int x\sqrt{1-x} dx$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

各積分について、以下の手順で計算します。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$。

よって、

$\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$。

よって、

$\int (2x+3)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

$u = 4x-3$ と置換すると、$du = 4dx$ より $dx = \frac{1}{4} du$。

よって、

$\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$。

よって、

$\int \sqrt{2x+3} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

$u = 2-3x$ と置換すると、$du = -3dx$ より $dx = -\frac{1}{3} du$。

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

(6) $\int \sin 3x dx$

$u = 3x$ と置換すると、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3} du$。

よって、

$\int \sin 3x dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin u du = \frac{1}{3} (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$

(7) $\int e^{2x+3} dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$。

よって、

$\int e^{2x+3} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

(8) $\int x(2-x)^3 dx$

展開して計算します。

$(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$

$\int x(2-x)^3 dx = \int x(8 - 12x + 6x^2 - x^3) dx = \int (8x - 12x^2 + 6x^3 - x^4) dx$

$= 4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2} x^4 - \frac{1}{5} x^5 + C$

(9) $\int x\sqrt{1-x} dx$

$u = 1-x$ と置換すると、$x = 1-u$、$dx = -du$。

$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u} (-du) = -\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du = -\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = -\frac{2}{3} (1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

$u = x+1$ と置換すると、$x = u-1$、$dx = du$。

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}}) du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(4) $\frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

(6) $-\frac{1}{3} \cos 3x + C$

(7) $\frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

(8) $4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2} x^4 - \frac{1}{5} x^5 + C$

(9) $-\frac{2}{3} (1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

(10) $\frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x+1} + C$