与えられた写像 $T(x)$ が線形写像であるかどうかを判定します。線形写像とは、$T(u + v) = T(u) + T(v)$ と $T(cu) = cT(u)$ を満たす写像のことです。

1. 問題の内容

与えられた写像 $T(x)$ が線形写像であるかどうかを判定します。線形写像とは、$T(u + v) = T(u) + T(v)$ と $T(cu) = cT(u)$ を満たす写像のことです。

2. 解き方の手順

(a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix}$ の場合：

まず、$T(u + v) = T(u) + T(v)$ が成り立つか確認します。

$u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}$、 $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ とすると、

$T(u + v) = T(\begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 2(u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) \\ (u_1 + v_1) - 5(u_2 + v_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2u_1 + 2v_1 + u_2 + v_2 \\ u_1 + v_1 - 5u_2 - 5v_2 \end{bmatrix}$

$T(u) + T(v) = \begin{bmatrix} 2u_1 + u_2 \\ u_1 - 5u_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2v_1 + v_2 \\ v_1 - 5v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2u_1 + u_2 + 2v_1 + v_2 \\ u_1 - 5u_2 + v_1 - 5v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2u_1 + 2v_1 + u_2 + v_2 \\ u_1 + v_1 - 5u_2 - 5v_2 \end{bmatrix}$

したがって、$T(u + v) = T(u) + T(v)$ が成り立ちます。

次に、$T(cu) = cT(u)$ が成り立つか確認します。

$T(cu) = T(\begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 2(cu_1) + (cu_2) \\ (cu_1) - 5(cu_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(2u_1 + u_2) \\ c(u_1 - 5u_2) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 2u_1 + u_2 \\ u_1 - 5u_2 \end{bmatrix} = cT(u)$

したがって、$T(cu) = cT(u)$ が成り立ちます。

(b) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix}$ の場合：

線形写像は原点を原点に移す必要があります。つまり、$T(0) = 0$ でなければなりません。

しかし、$T(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 0 + 0 + 2 \\ 2(0) + 3(0) - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、線形写像ではありません。

(c) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ の場合：

$u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$、 $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ とすると、

$T(u + v) = T(\begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) \\ (u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 + u_2 + v_2 \\ u_2 + v_2 - u_3 - v_3 \end{bmatrix}$

$T(u) + T(v) = \begin{bmatrix} u_1 + u_2 \\ u_2 - u_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1 + v_2 \\ v_2 - v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 + u_2 + v_1 + v_2 \\ u_2 - u_3 + v_2 - v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 + u_2 + v_2 \\ u_2 + v_2 - u_3 - v_3 \end{bmatrix}$

したがって、$T(u + v) = T(u) + T(v)$ が成り立ちます。

$T(cu) = T(\begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \\ cu_3 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} cu_1 + cu_2 \\ cu_2 - cu_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(u_1 + u_2) \\ c(u_2 - u_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} u_1 + u_2 \\ u_2 - u_3 \end{bmatrix} = cT(u)$

したがって、$T(cu) = cT(u)$ が成り立ちます。

(d) $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix}$ の場合：

$u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$、 $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ とすると、

$T(u + v) = T(\begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 3(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) + 2(u_3 + v_3) \\ (u_1 + v_1) + 3(u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3u_1 + 3v_1 - u_2 - v_2 + 2u_3 + 2v_3 \\ u_1 + v_1 + 3u_2 + 3v_2 - u_3 - v_3 \end{bmatrix}$

$T(u) + T(v) = \begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3v_1 - v_2 + 2v_3 \\ v_1 + 3v_2 - v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 + 3v_1 - v_2 + 2v_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 + v_1 + 3v_2 - v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3u_1 + 3v_1 - u_2 - v_2 + 2u_3 + 2v_3 \\ u_1 + v_1 + 3u_2 + 3v_2 - u_3 - v_3 \end{bmatrix}$

したがって、$T(u + v) = T(u) + T(v)$ が成り立ちます。

$T(cu) = T(\begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \\ cu_3 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 3(cu_1) - (cu_2) + 2(cu_3) \\ (cu_1) + 3(cu_2) - (cu_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(3u_1 - u_2 + 2u_3) \\ c(u_1 + 3u_2 - u_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 3u_1 - u_2 + 2u_3 \\ u_1 + 3u_2 - u_3 \end{bmatrix} = cT(u)$

したがって、$T(cu) = cT(u)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(a) 線形写像である。

(b) 線形写像ではない。

(c) 線形写像である。

(d) 線形写像である。