SHIKEN の 6 文字を並び替えてできる順列を辞書式順序で並べる。 (1) 140 番目の文字列を求めよ。 (2) SHIKEN は何番目の文字列か求めよ。

1. 問題の内容

SHIKEN の 6 文字を並び替えてできる順列を辞書式順序で並べる。

(1) 140 番目の文字列を求めよ。

(2) SHIKEN は何番目の文字列か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。

SHIKEN の文字をアルファベット順に並べると、E, H, I, K, N, S となる。

1文字目が E である順列の数は $5! = 120$ 個

1文字目が H である順列の数は $5! = 120$ 個

1文字目が I である順列の数は $5! = 120$ 個

1文字目がEのとき120個なので、140番目の文字列はEから始まらない。

1文字目がHのとき120個なので、140番目の文字列はHから始まらない。

1文字目がIのとき120個なので、140番目の文字列はIから始まらない。

1文字目がKのとき120個なので、140番目の文字列はKから始まる。

つまり、140番目の文字列は K から始まる。

K から始まる順列のうち、最初の $140 - 120 = 20$ 番目を考えればよい。

2文字目が E である順列の数は $4! = 24$ 個。

$20 < 24$ なので、2文字目は E である。

KE から始まる順列のうち、20番目を考えればよい。

3文字目が H である順列の数は $3! = 6$ 個。

3文字目が I である順列の数は $3! = 6$ 個。

3文字目が N である順列の数は $3! = 6$ 個。

3文字目が S である順列の数は $3! = 6$ 個。

$20 > 6+6+6 = 18$ なので、3文字目はSである。

KEH から始まる順列は6個、KEIから始まる順列は6個、KENから始まる順列は6個である。したがって、KESから始まるものは20番目ではない。

KESから始まるものは20番目ではないが、KEH, KEI, KENを全て通り過ぎてからKESなので20番目に近くなる。

KES の次の文字を考える。

4文字目がHのとき、残りIとN。2つなので辞書式順はIH, NI。

4文字目がIのとき、残りHとN。2つなので辞書式順はHN, NH。

4文字目がNのとき、残りHとI。2つなので辞書式順はHI, IH。

KEH I N

KEH N I

KEI H N

KEI N H

KEN H I

KEN I H

KES

3文字目が H である順列の数は $3! = 6$ 個。

3文字目が I である順列の数は $3! = 6$ 個。

3文字目が N である順列の数は $3! = 6$ 個。

$6+6+6 = 18 < 20$

なのでKENSHIとなる。20番目はKENSHI.

したがって、140番目は KENSHI である。

(2) SHIKEN が何番目の文字列か求める。

S から始まる順列の数は $5! = 120$ 個。

H から始まる順列の数は $5! = 120$ 個。

I から始まる順列の数は $5! = 120$ 個。

K から始まる順列の数は $5! = 120$ 個。

N から始まる順列の数は $5! = 120$ 個。

SH から始まる順列の数は $4! = 24$ 個。

SI から始まる順列の数は $4! = 24$ 個。

SK から始まる順列の数は $4! = 24$ 個。

SE から始まる順列の数は $4! = 24$ 個。

E, H, I, K より、SE, SH, SI, SK の順で辞書式順序になる。

SHI から始まる順列の数は $3! = 6$ 個。

SHE から始まる順列の数は $3! = 6$ 個。

SHIK から始まる順列の数は $2! = 2$ 個。

SHIE から始まる順列の数は $2! = 2$ 個。

SHIKE N 1個

SHIKN E 1個

したがって、SHIKENは

$120+24+6+2 = 152$ 番目となる。

3. 最終的な答え

(1) KENSHI

(2) 152