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SHIKENの6文字を並び替えてできる文字列を、辞書式順序で並べます。EHIKNSを1番目とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 140番目の文字列を求めます。 (2) SHIKENは何番目の文字列かを求めます。

離散数学順列組み合わせ辞書式順序
2025/7/3

1. 問題の内容

SHIKENの6文字を並び替えてできる文字列を、辞書式順序で並べます。EHIKNSを1番目とするとき、以下の問いに答えます。
(1) 140番目の文字列を求めます。
(2) SHIKENは何番目の文字列かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。
まず、与えられた文字をアルファベット順に並べるとEHIKNSとなります。
1文字目がEである文字列の数は 5!=1205! = 120個です。
したがって、140番目の文字列の1文字目はEではありません。
1文字目がHである文字列の数は 5!=1205! = 120個です。
Eから始まる120個とHから始まる120個を足すと240個になり、140を超えてしまいます。
したがって、140番目の文字列の1文字目はHではありません。
1文字目がEの次はHなので、Hから始まる文字列の範囲は121番目から240番目になります。140番目はHから始まる文字列の中にあることになります。
1文字目がEの場合を考えました。
次に、1文字目がHである文字列について、2文字目がEである文字列の数は 4!=244! = 24個です。
120+24=144なので、140番目の文字列の2文字目はEです。
したがって、文字列はHEから始まります。
次に、3文字目を考えます。残りの文字はIKNSです。
3文字目がIである文字列の数は 3!=63! = 6個です。
120+24+6=150なので、140番目の文字列の3文字目はIではありません。
3文字目がKである文字列の数は 3!=63! = 6個です。
120+24+6=150にはまだ達していないので、3文字目をKとしても良いです。
120+24+6=150に達してしまうので、3文字目はKではありません。140番目より後ろになってしまいます。
3文字目はI,K,N,Sのいずれかなので、アルファベット順に見ていきます。
1文字目がH,2文字目がEの時点で120個の文字列が存在します。
140番目の文字列を求めるので、残り20個の文字列を探します。
残りの文字はIKNSです。
HEIから始まる文字列の数は3!=63!=6個です。
HENから始まる文字列の数は3!=63!=6個です。
HEKから始まる文字列の数は3!=63!=6個です。
残りの文字はIKNSです。
並べ替えるとIKNSです。
HEIから始まる文字列は6個あります。
HENから始まる文字列は6個あります。
HEKから始まる文字列は6個あります。
120+6+6+6 = 138
138番目の文字列はHEK SNIとなります。
140番目の文字列を求めるので、HEK から始まる順列の範囲を超えないようにします。
HEIから始まる文字列は6個あります。
120+6 = 126 < 140なので、140番目の文字列はHEIではありません。
HEKから始まる文字列は6個あります。
120+6=126
126 < 140
HENから始まる文字列は6個あります。
120+6 = 126
126 < 140
HESから始まる文字列は6個あります。
120+6 = 126
126 < 140
HEIからはじまる文字列は6個です。121番目から126番目。
HEKからはじまる文字列は6個です。127番目から132番目。
HENからはじまる文字列は6個です。133番目から138番目。
HESからはじまる文字列は6個です。139番目から144番目。
したがって、140番目の文字列はHESから始まります。
HESIKNが139番目
HESINKが140番目
(2) SHIKENは何番目の文字列か。
SHIKENの文字をアルファベット順に並べるとEHIKNSとなります。
Eから始まる文字列は5!=1205! = 120個
Hから始まる文字列は5!=1205! = 120個
Iから始まる文字列は5!=1205! = 120個
Sから始まる文字列について
Sから始まる文字列は4!=244! = 24個
SHから始まる文字列について
残りの文字はIKEN
SHIから始まる文字列について
SHIKEN
E H I K N S
SHIKEN
SHIから始まる文字列は3!=63! = 6個
残りの文字はEKN
SHIEKN
SHIENK
SHIKEN
SHIKNE
SHINKE
SHINEK
SHIから始まる文字列の辞書順1番目はSHIEKN
辞書順2番目はSHIENK
辞書順3番目はSHIKEN
Eの文字列 + Hの文字列 + Iの文字列 + (SHIの文字列の順番)
120+120+120+3=363120 + 120 + 120 + 3 = 363

3. 最終的な答え

(1) 140番目の文字列: HESINK
(2) SHIKEN: 363番目

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