右図のような道のある町で、最短の道順について、以下の問いに答える問題です。 (1) PからQまで行く道順は何通りあるか。 (2) PからRを通ってQまで行く道順は何通りあるか。 (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。 (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。

離散数学組み合わせ場合の数最短経路
2025/7/3

1. 問題の内容

右図のような道のある町で、最短の道順について、以下の問いに答える問題です。
(1) PからQまで行く道順は何通りあるか。
(2) PからRを通ってQまで行く道順は何通りあるか。
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く道順
PからQまでは、右に5回、下に4回移動する必要があります。これは9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。
よって、
9C5=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126{}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 通り
(2) PからRを通ってQまで行く道順
PからRまでは、右に1回、下に1回移動する必要があります。
PからRへの移動経路は2C1=2!1!1!=2{}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2通りです。
RからQまでは、右に4回、下に3回移動する必要があります。
RからQへの移動経路は7C4=7!4!3!=7×6×53×2×1=35{}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35通りです。
よって、PからRを通ってQまで行く道順は、2×35=702 \times 35 = 70 通りです。
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順
まず、PからQまで行くすべての道順は126通りです。
Pから×印を通ってQまで行く道順を計算します。
Pから×印までは、右に2回、下に1回移動する必要があります。
Pから×印への移動経路は3C2=3!2!1!=3{}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3通りです。
×印からQまでは、右に3回、下に3回移動する必要があります。
×印からQへの移動経路は6C3=6!3!3!=6×5×43×2×1=20{}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20通りです。
よって、Pから×印を通ってQまで行く道順は、3×20=603 \times 20 = 60 通りです。
したがって、Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順は、12660=66126 - 60 = 66 通りです。
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順
PからRを通ってQまで行く道順は70通りです。
PからRを通り、かつ×印を通ってQまで行く道順を計算します。
PからRへの道順は2通りです。
Rから×印への道順は、右に1回移動するため1通りです。
×印からQへの道順は20通りです。
よって、PからRと×印を通ってQまで行く道順は、2×1×20=402 \times 1 \times 20 = 40 通りです。
したがって、PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順は、7040=3070 - 40 = 30 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 126通り
(2) 70通り
(3) 66通り
(4) 30通り

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