右図のような道のある町で、最短の道順について、以下の問いに答える問題です。 (1) PからQまで行く道順は何通りあるか。 (2) PからRを通ってQまで行く道順は何通りあるか。 (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。 (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

右図のような道のある町で、最短の道順について、以下の問いに答える問題です。

(1) PからQまで行く道順は何通りあるか。

(2) PからRを通ってQまで行く道順は何通りあるか。

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く道順

PからQまでは、右に5回、下に4回移動する必要があります。これは9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

よって、

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り

(2) PからRを通ってQまで行く道順

PからRまでは、右に1回、下に1回移動する必要があります。

PからRへの移動経路は${}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通りです。

RからQまでは、右に4回、下に3回移動する必要があります。

RからQへの移動経路は${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通りです。

よって、PからRを通ってQまで行く道順は、$2 \times 35 = 70$ 通りです。

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順

まず、PからQまで行くすべての道順は126通りです。

Pから×印を通ってQまで行く道順を計算します。

Pから×印までは、右に2回、下に1回移動する必要があります。

Pから×印への移動経路は${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通りです。

×印からQまでは、右に3回、下に3回移動する必要があります。

×印からQへの移動経路は${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りです。

よって、Pから×印を通ってQまで行く道順は、$3 \times 20 = 60$ 通りです。

したがって、Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順は、$126 - 60 = 66$ 通りです。

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順

PからRを通ってQまで行く道順は70通りです。

PからRを通り、かつ×印を通ってQまで行く道順を計算します。

PからRへの道順は2通りです。

Rから×印への道順は、右に1回移動するため1通りです。

×印からQへの道順は20通りです。

よって、PからRと×印を通ってQまで行く道順は、$2 \times 1 \times 20 = 40$ 通りです。

したがって、PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く道順は、$70 - 40 = 30$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 70通り

(3) 66通り

(4) 30通り