右のような道路がある町において、以下の条件でPからQまで最短経路で行く方法が何通りあるかを求める問題です。 (1) PからQまで行く (2) PからRを通ってQまで行く (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

1. 問題の内容

右のような道路がある町において、以下の条件でPからQまで最短経路で行く方法が何通りあるかを求める問題です。

(1) PからQまで行く

(2) PからRを通ってQまで行く

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く

PからQまで行くには、右に5回、下に4回移動する必要があります。したがって、全部で9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を計算します。

これは組み合わせの公式を用いて $_9C_5$ で計算できます。

$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) PからRを通ってQまで行く

まず、PからRまで行く経路数を計算します。PからRまで行くには、右に1回、下に1回移動する必要があります。したがって、全部で2回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせの数を計算します。

これは組み合わせの公式を用いて $_2C_1$ で計算できます。

$_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$

次に、RからQまで行く経路数を計算します。RからQまで行くには、右に4回、下に3回移動する必要があります。したがって、全部で7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を計算します。

これは組み合わせの公式を用いて $_7C_4$ で計算できます。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、PからRを通ってQまで行く経路数は $2 \times 35 = 70$

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く

まず、PからQまでの経路数（(1)で求めた値）を計算します。

次に、Pから×印を通ってQまで行く経路数を計算します。Pから×印まで行く経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、全部で3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を計算します。

これは組み合わせの公式を用いて $_3C_2$ で計算できます。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$

次に、×印からQまで行く経路数を計算します。×印からQまで行くには、右に3回、下に3回移動する必要があります。したがって、全部で6回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数を計算します。

これは組み合わせの公式を用いて $_6C_3$ で計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、Pから×印を通ってQまで行く経路数は $3 \times 20 = 60$

Pから×印を通らずにQまで行く経路数は、PからQまで行く経路数からPから×印を通ってQまで行く経路数を引いたものです。

$126 - 60 = 66$

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

まず、PからRを通ってQまで行く経路数（(2)で求めた値）を計算します。

次に、PからRを通り、かつ×印を通ってQまで行く経路数を計算します。これは、PからRに行く経路数($2$)と、Rから×印に行く経路数($_1C_1 = 1$)と、×印からQに行く経路数($20$)を掛け合わせます。つまり、$2 \times 1 \times 20 = 40$です。

したがって、PからRを通り、×印を通らずにQまで行く経路数は、$70 - 40 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 70通り

(3) 66通り

(4) 30通り