右のような道路がある町において、以下の条件でPからQまで最短経路で行く方法が何通りあるかを求める問題です。 (1) PからQまで行く (2) PからRを通ってQまで行く (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

離散数学組み合わせ最短経路場合の数順列
2025/7/3

1. 問題の内容

右のような道路がある町において、以下の条件でPからQまで最短経路で行く方法が何通りあるかを求める問題です。
(1) PからQまで行く
(2) PからRを通ってQまで行く
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く
PからQまで行くには、右に5回、下に4回移動する必要があります。したがって、全部で9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 9C5 _9C_5 で計算できます。
9C5=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126 _9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
(2) PからRを通ってQまで行く
まず、PからRまで行く経路数を計算します。PからRまで行くには、右に1回、下に1回移動する必要があります。したがって、全部で2回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 2C1 _2C_1 で計算できます。
2C1=2!1!1!=2 _2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2
次に、RからQまで行く経路数を計算します。RからQまで行くには、右に4回、下に3回移動する必要があります。したがって、全部で7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 7C4 _7C_4 で計算できます。
7C4=7!4!3!=7×6×53×2×1=35 _7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
したがって、PからRを通ってQまで行く経路数は 2×35=70 2 \times 35 = 70
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く
まず、PからQまでの経路数((1)で求めた値)を計算します。
次に、Pから×印を通ってQまで行く経路数を計算します。Pから×印まで行く経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、全部で3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 3C2 _3C_2 で計算できます。
3C2=3!2!1!=3 _3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3
次に、×印からQまで行く経路数を計算します。×印からQまで行くには、右に3回、下に3回移動する必要があります。したがって、全部で6回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 6C3 _6C_3 で計算できます。
6C3=6!3!3!=6×5×43×2×1=20 _6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
したがって、Pから×印を通ってQまで行く経路数は 3×20=60 3 \times 20 = 60
Pから×印を通らずにQまで行く経路数は、PからQまで行く経路数からPから×印を通ってQまで行く経路数を引いたものです。
12660=66 126 - 60 = 66
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く
まず、PからRを通ってQまで行く経路数((2)で求めた値)を計算します。
次に、PからRを通り、かつ×印を通ってQまで行く経路数を計算します。これは、PからRに行く経路数(22)と、Rから×印に行く経路数(1C1=1_1C_1 = 1)と、×印からQに行く経路数(2020)を掛け合わせます。つまり、2×1×20=402 \times 1 \times 20 = 40です。
したがって、PからRを通り、×印を通らずにQまで行く経路数は、7040=3070 - 40 = 30

3. 最終的な答え

(1) 126通り
(2) 70通り
(3) 66通り
(4) 30通り

「離散数学」の関連問題

(1) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。 (2) A, A, A, A, A, B, B, B, B, B の1...

順列組み合わせ場合の数
2025/7/8

この問題は、与えられた文字の集合から4つの文字を選んで並べる順列の数を求める問題です。3つの小問があります。 (1) 10種類の文字 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J から4文...

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/8

与えられた文字の集合から4つの文字を選び、並べてできる順列の数を求める問題です。3つの異なる文字の集合に対して順列の数を計算します。

順列組み合わせ重複順列場合の数
2025/7/8

「CAREFUL」の7文字をすべて用いて並べる順列のうち、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるかを求める問題です。

順列組み合わせ文字列場合の数
2025/7/8

東西に5本、南北に6本の道がある。点Aから点Bへ行く最短経路は何通りあるか。

組み合わせ最短経路組合せ論
2025/7/8

(7) CAREFULの7文字をすべて用いて並べるとき、母音と子音が交互に並ぶような並べ方は何通りあるか。

順列組み合わせ場合の数文字列
2025/7/8

命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であるとき、以下の5つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}...

論理命題論理真偽判定対偶ド・モルガンの法則
2025/7/8

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、次の命題の真偽を判定し、正しい場合は証明、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である...

集合論濃度可算集合非可算集合べき集合対等
2025/7/8

集合$A$と$B$について、以下の2つの命題を証明する。 (1) $A$から$B$への単射が存在するための必要十分条件は、$B$から$A$への全射が存在すること。 (2) $A$から$B$への単射$f...

集合論写像単射全射全単射ベルンシュタインの定理
2025/7/8

問題8は、以下の集合に関する定義を述べる問題です。 (1) 集合Aと集合Bが対等である。 (2) 集合Aが有限集合である。集合Bが無限集合である。 (3) 集合Aが可算集合である。集合Bが高々可算であ...

集合論集合対等有限集合無限集合可算集合高々可算非可算集合ベキ集合全単射部分集合
2025/7/8