右のような道路がある町において、以下の条件でPからQまで最短経路で行く方法が何通りあるかを求める問題です。 (1) PからQまで行く (2) PからRを通ってQまで行く (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

離散数学組み合わせ最短経路場合の数順列
2025/7/3

1. 問題の内容

右のような道路がある町において、以下の条件でPからQまで最短経路で行く方法が何通りあるかを求める問題です。
(1) PからQまで行く
(2) PからRを通ってQまで行く
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く
PからQまで行くには、右に5回、下に4回移動する必要があります。したがって、全部で9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 9C5 _9C_5 で計算できます。
9C5=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126 _9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
(2) PからRを通ってQまで行く
まず、PからRまで行く経路数を計算します。PからRまで行くには、右に1回、下に1回移動する必要があります。したがって、全部で2回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 2C1 _2C_1 で計算できます。
2C1=2!1!1!=2 _2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2
次に、RからQまで行く経路数を計算します。RからQまで行くには、右に4回、下に3回移動する必要があります。したがって、全部で7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 7C4 _7C_4 で計算できます。
7C4=7!4!3!=7×6×53×2×1=35 _7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
したがって、PからRを通ってQまで行く経路数は 2×35=70 2 \times 35 = 70
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く
まず、PからQまでの経路数((1)で求めた値)を計算します。
次に、Pから×印を通ってQまで行く経路数を計算します。Pから×印まで行く経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、全部で3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 3C2 _3C_2 で計算できます。
3C2=3!2!1!=3 _3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3
次に、×印からQまで行く経路数を計算します。×印からQまで行くには、右に3回、下に3回移動する必要があります。したがって、全部で6回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数を計算します。
これは組み合わせの公式を用いて 6C3 _6C_3 で計算できます。
6C3=6!3!3!=6×5×43×2×1=20 _6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
したがって、Pから×印を通ってQまで行く経路数は 3×20=60 3 \times 20 = 60
Pから×印を通らずにQまで行く経路数は、PからQまで行く経路数からPから×印を通ってQまで行く経路数を引いたものです。
12660=66 126 - 60 = 66
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く
まず、PからRを通ってQまで行く経路数((2)で求めた値)を計算します。
次に、PからRを通り、かつ×印を通ってQまで行く経路数を計算します。これは、PからRに行く経路数(22)と、Rから×印に行く経路数(1C1=1_1C_1 = 1)と、×印からQに行く経路数(2020)を掛け合わせます。つまり、2×1×20=402 \times 1 \times 20 = 40です。
したがって、PからRを通り、×印を通らずにQまで行く経路数は、7040=3070 - 40 = 30

3. 最終的な答え

(1) 126通り
(2) 70通り
(3) 66通り
(4) 30通り

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