(1) 10人がA, Bの2部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。 (2) 10人が2つのグループA, Bに分かれる方法は何通りあるか。 (3) 10人が2つのグループに分かれる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 10人がA, Bの2部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。

(2) 10人が2つのグループA, Bに分かれる方法は何通りあるか。

(3) 10人が2つのグループに分かれる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 各人はA, Bどちらかの部屋に入るという2通りの選択肢がある。10人それぞれが2通りの選択肢を持つので、$2^{10}$ 通りの入り方がある。ただし、全員がAに入る場合と全員がBに入る場合も含まれる。

(2) 10人を2つのグループA, Bに分ける方法を考える。各人はグループAかグループBのどちらかに属するので、$2^{10}$ 通りの分け方がある。ただし、全員がグループAに属する場合と全員がグループBに属する場合は、どちらかのグループが空になるので、これらを除外する必要がある。よって、分け方は $2^{10} - 2$ 通りとなる。

(3) 10人を2つのグループに分ける方法を考える。グループA, B の区別がないので、(2) の結果を2で割れば良い。ただし、(2) の結果は偶数なので、必ず割り切れる。したがって、$(2^{10} - 2) / 2 = 2^9 - 1$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 1024通り

(2) 1022通り

(3) 511通り