(1) 10人がA, Bの2部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。 (2) 10人が2つのグループA, Bに分かれる方法は何通りあるか。 (3) 10人が2つのグループに分かれる方法は何通りあるか。

離散数学組み合わせ場合の数二項定理
2025/7/3

1. 問題の内容

(1) 10人がA, Bの2部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。
(2) 10人が2つのグループA, Bに分かれる方法は何通りあるか。
(3) 10人が2つのグループに分かれる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 各人はA, Bどちらかの部屋に入るという2通りの選択肢がある。10人それぞれが2通りの選択肢を持つので、2102^{10} 通りの入り方がある。ただし、全員がAに入る場合と全員がBに入る場合も含まれる。
(2) 10人を2つのグループA, Bに分ける方法を考える。各人はグループAかグループBのどちらかに属するので、2102^{10} 通りの分け方がある。ただし、全員がグループAに属する場合と全員がグループBに属する場合は、どちらかのグループが空になるので、これらを除外する必要がある。よって、分け方は 21022^{10} - 2 通りとなる。
(3) 10人を2つのグループに分ける方法を考える。グループA, B の区別がないので、(2) の結果を2で割れば良い。ただし、(2) の結果は偶数なので、必ず割り切れる。したがって、(2102)/2=291(2^{10} - 2) / 2 = 2^9 - 1 通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 1024通り
(2) 1022通り
(3) 511通り

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