画像にある2つの行列式(8)と(9)の値を計算します。 行列式(8)は $ \begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} $ であり、行列式(9)は $ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} $ です。

1. 問題の内容

画像にある2つの行列式(8)と(9)の値を計算します。

行列式(8)は

$$

\begin{vmatrix}

-1 & -1 & -1 & -1 \\

1 & -1 & -1 & -1 \\

1 & 1 & -1 & -1 \\

1 & 1 & 1 & -1

\end{vmatrix}

$$

であり、行列式(9)は

$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\

2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

4 & 3 & 2 & 1 & 0

\end{vmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

(8)

行列式(8)を計算します。まず、2行目以降から1行目を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

-1 & -1 & -1 & -1 \\

1 - (-1) & -1 - (-1) & -1 - (-1) & -1 - (-1) \\

1 - (-1) & 1 - (-1) & -1 - (-1) & -1 - (-1) \\

1 - (-1) & 1 - (-1) & 1 - (-1) & -1 - (-1)

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

-1 & -1 & -1 & -1 \\

2 & 0 & 0 & 0 \\

2 & 2 & 0 & 0 \\

2 & 2 & 2 & 0

\end{vmatrix}

$$

この行列式は下三角行列なので、対角成分の積が値となります。

$(-1) \times 0 \times 0 \times 0 = 0$

(9)

行列式(9)を計算します。 行列式をAとします。Aは交代行列なので、nが奇数の場合、行列式は0になります。

しかし、この行列は5x5なので交代行列であり、行列式は0になるはずです。

具体的に計算も可能です。１行目を基準に余因子展開します。

$det(A) = 0 \times C_{11} + (-1) \times C_{12} + 2 \times C_{13} + (-3) \times C_{14} + 4 \times C_{15}$

$A = \begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\

2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

4 & 3 & 2 & 1 & 0

\end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(8) の答え: 0

(9) の答え: 0