立方体の縦を1 cm、横を2 cm伸ばし、高さを1 cm縮めて直方体を作ったところ、体積が元の立方体の$\frac{3}{2}$倍になった。元の立方体の1辺の長さを求める。

1. 問題の内容

立方体の縦を1 cm、横を2 cm伸ばし、高さを1 cm縮めて直方体を作ったところ、体積が元の立方体の$\frac{3}{2}$倍になった。元の立方体の1辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、条件を満たす式を立てる。元の立方体の1辺の長さを$x$ cmとする。

高さを1 cm縮めるので、$x>1$となる。

直方体の縦は$x+1$ cm、横は$x+2$ cm、高さは$x-1$ cmと表せる。

直方体の体積は$(x+1)(x+2)(x-1)$である。

これが元の立方体の体積の$\frac{3}{2}$倍なので、以下の式が成り立つ。

$(x+1)(x+2)(x-1) = \frac{3}{2}x^3$

これを展開して整理する。

$(x+1)(x^2 + x - 2) = \frac{3}{2}x^3$

$x^3 + x^2 - 2x + x^2 + x - 2 = \frac{3}{2}x^3$

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = \frac{3}{2}x^3$

両辺に2をかけて、整理する。

$2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 3x^3$

$0 = x^3 - 4x^2 + 2x + 4$

つまり、$x^3 - 4x^2 + 2x + 4 = 0$を解けばよい。

$x=2$を代入すると、

$2^3 - 4(2^2) + 2(2) + 4 = 8 - 16 + 4 + 4 = 0$

よって、$x=2$は解の一つである。

$x^3 - 4x^2 + 2x + 4$を$(x-2)$で割ると、

$(x^3 - 4x^2 + 2x + 4) \div (x-2) = x^2 - 2x - 2$

したがって、$x^3 - 4x^2 + 2x + 4 = (x-2)(x^2 - 2x - 2) = 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$を解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$x > 1$の条件より、$x = 1 + \sqrt{3}$

$x=2, 1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2$ cm, $1 + \sqrt{3}$ cm