放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ と直線 $y = 2x + k$ が接するとき、これら2つの式を連立させて得られる方程式 $x^2 - 2x + 3 = 2x + k$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ と直線 $y = 2x + k$ が接するとき、これら2つの式を連立させて得られる方程式 $x^2 - 2x + 3 = 2x + k$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接する条件は、連立方程式が重解を持つことです。

まず、与えられた2つの式を連立させます。

$x^2 - 2x + 3 = 2x + k$

次に、この式を整理して2次方程式の形にします。

$x^2 - 4x + (3 - k) = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ になることです。

判別式 $D$ は、 $D = b^2 - 4ac$ で求められます。この2次方程式では、$a = 1$, $b = -4$, $c = 3 - k$ ですから、

$D = (-4)^2 - 4(1)(3 - k) = 16 - 12 + 4k = 4 + 4k$

重解を持つ条件 $D = 0$ より、

$4 + 4k = 0$

$4k = -4$

$k = -1$

$k = -1$ のとき、2次方程式は

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

したがって、実数解は $x = 2$ の1個です。

3. 最終的な答え

1個