数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - n + 1$ で表されるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - n + 1$ で表されるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係は、以下のようになる。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$

まず、$n=1$ のとき、$a_1$ を計算する。

$S_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

よって、$a_1 = 1$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ を計算する。

$S_n = n^2 - n + 1$

$S_{n-1} = (n-1)^2 - (n-1) + 1 = n^2 - 2n + 1 - n + 1 + 1 = n^2 - 3n + 3$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - n + 1) - (n^2 - 3n + 3) = n^2 - n + 1 - n^2 + 3n - 3 = 2n - 2$

ここで、$a_1 = 1$ と $a_n = 2n - 2$ に $n = 1$ を代入した結果を比較する。

$2(1) - 2 = 0 \neq 1$ であるため、$n=1$ の場合は $a_n$ の式で表現できない。

したがって、$a_1 = 1$ と $n \geq 2$ のとき $a_n = 2n-2$ を分けて書く必要がある。

3. 最終的な答え

$a_1 = 1$

$a_n = 2n - 2 \quad (n \geq 2)$