与えられた6つの行列式の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列式の値を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 7 & 7 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} = 2(-7) - 3(-7) - 3(-5+7) = -14 + 21 - 6 = 1$

(2)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & 6 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -3 & 6 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(3-12) - 5(-4+6) + 2(8-3) = -9 - 10 + 10 = -9$

(3)

行列式を計算します。1列目を10で割ると、行列式は10倍されます。よって

$\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix} = 10 \begin{vmatrix} 1 & 20 & 30 \\ 0.4 & 5 & 7 \\ 100.4 & 2005 & 3006 \end{vmatrix} = 0$

理由は1列目が10,4,1004で2列目が20,5,2005で3列目が30,7,3006で、行列式は0になる。あるいは1列目と2列目、3列目の間に $a:b:c$ の関係が成立しないため0になる。

(4)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0-8) - 2(2(1-4)) = -7 - 2(-6) = -7 + 12 = 5$

(5)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 4 & 7 \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 4 \end{vmatrix} = -6(1) + 4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -6 + 4(-2+3) = -6+4 = -2$

(6)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -6 (18-10) (14-3) = -6 (8)(11) = -528$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -9

(3) 0

(4) 5

(5) -2

(6) -528