与えられた行列のランクを求める問題です。与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $
2025/7/17
1. 問題の内容
与えられた行列のランクを求める問題です。与えられた行列は以下の通りです。
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
2. 解き方の手順
行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行列のランクを求めるには、行列を簡約化（階段行列に変形）し、ゼロでない行の数を数える方法があります。
1. 2行目を-2倍します。
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
2. 1行目に2行目を足します。
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
3. 3行目を-2倍します。
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 0
\end{pmatrix}
4. 2行目に3行目を足します。
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 0
\end{pmatrix}
5. 1行目と3行目を入れ替えます。
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
上記の階段行列にはゼロでない行が1行だけなので、行列のランクは1です。
別の解き方としては、
1. 2行目を-1倍します。
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
2. 3行目から2行目を引きます。
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
3. 1行目に2行目の2倍を足します。
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
上記の階段行列にはゼロでない行が1行だけなので、行列のランクは1です。
3. 最終的な答え
1