与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答えます。 (1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立一次方程式の解を求めます。 連立一次方程式は次の通りです。 $\begin{cases} x + 3y - 4z = -4 \\ 4x + 12y - z = 14 \\ 7x + 21y - 9z = 10 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答えます。

(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。

(2) 連立一次方程式の解を求めます。

連立一次方程式は次の通りです。

$\begin{cases}

x + 3y - 4z = -4 \\

4x + 12y - z = 14 \\

7x + 21y - 9z = 10

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求める。

まず、係数行列 $A$ と拡大係数行列 $(A | \mathbf{b})$ を書き出します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 4 & 12 & -1 \\ 7 & 21 & -9 \end{pmatrix}$

$(A | \mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 4 & 12 & -1 & 14 \\ 7 & 21 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を簡約化します。

2行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 7 & 21 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 0 & 0 & 19 & 38 \end{pmatrix}$

2行目を15で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 19 & 38 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の19倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の4倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

係数行列 $A$ の階数は2です。拡大係数行列 $(A | \mathbf{b})$ の階数も2です。

(2) 連立一次方程式の解を求める。

簡約化された拡大係数行列から、連立方程式は次のようになります。

$\begin{cases}

x + 3y = 4 \\

z = 2

\end{cases}$

$y$ をパラメータ $t$ とすると、$x = 4 - 3t$ となります。

したがって、解は次のようになります。

$\begin{cases}

x = 4 - 3t \\

y = t \\

z = 2

\end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数：2

拡大係数行列の階数：2

(2) 連立方程式の解：

$\begin{cases}

x = 4 - 3t \\

y = t \\

z = 2

\end{cases}$

（$t$ は任意の実数）