与えられた行列のランクを求める問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行列のランクを求めるには、行基本変形を用いて行列を階段行列に変形し、ゼロでない行の数を数えます。

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. 3行目と1行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

2. 2行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. 3行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列です。ゼロでない行は3行あります。したがって、行列のランクは3です。

3. 最終的な答え

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