$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: $1+i$ が解であることから、複素共役な $1-i$ も解である。

なぜなら、$a, b$ が実数であるから、3次方程式の係数はすべて実数である。実数係数の多項式が複素数解を持つとき、その共役複素数も解となる。

ステップ2: 解と係数の関係を利用する。

3つの解を $1+i, 1-i, \alpha$ とすると、解と係数の関係より

\begin{align*} \label{eq:1} (1+i) + (1-i) + \alpha &= -1 \\ (1+i)(1-i) + (1+i)\alpha + (1-i)\alpha &= a \\ (1+i)(1-i)\alpha &= -b \end{align*}

ステップ3: $\alpha$ を求める。

最初の式より、

$$2 + \alpha = -1$$

$$\alpha = -3$$

ステップ4: $a$ を求める。

次の式より、

\begin{align*} (1+i)(1-i) + (1+i)\alpha + (1-i)\alpha &= a \\ 1 - i^2 + \alpha(1+i+1-i) &= a \\ 1 - (-1) + \alpha(2) &= a \\ 2 + 2\alpha &= a \\ 2 + 2(-3) &= a \\ 2 - 6 &= a \\ a &= -4 \end{align*}

ステップ5: $b$ を求める。

最後の式より、

\begin{align*} (1+i)(1-i)\alpha &= -b \\ (1-i^2)\alpha &= -b \\ (1-(-1))\alpha &= -b \\ 2\alpha &= -b \\ 2(-3) &= -b \\ -6 &= -b \\ b &= 6 \end{align*}

ステップ6: 他の解を求める。

他の解は $\alpha = -3$ である。

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 6$, 他の解は $-3$