2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + a$ の最小値が $-6$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。また、そのときの $0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + a$ の最小値が $-6$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。また、そのときの $0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x + a = (x - 1)^2 - 1 + a$

最小値が $-6$ であるから、 $-1 + a = -6$。

したがって、$a = -5$。

このとき、$f(x) = (x - 1)^2 - 6$。

$0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を求める。

$f(x)$ は $x=1$ を軸とする下に凸の放物線であるから、$0 \le x \le 4$ における最大値は、$x=0$ または $x=4$ のいずれかにおける $f(x)$ の値である。

$f(0) = (0 - 1)^2 - 6 = 1 - 6 = -5$

$f(4) = (4 - 1)^2 - 6 = 9 - 6 = 3$

したがって、$0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値は 3 である。

3. 最終的な答え

aの値は -5 である。（ウ）

最大値は 3 である。（エ）