$x$ と $y$ は実数とする。次の条件の否定を述べよ。 (1) $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ (2) $x = 0$ または $y = 0$ (3) $x, y$ はともに有理数

1. 問題の内容

$x$ と $y$ は実数とする。次の条件の否定を述べよ。

(1) $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$

(2) $x = 0$ または $y = 0$

(3) $x, y$ はともに有理数

2. 解き方の手順

(1) 「$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$」の否定は、「$x \geq 0$」の否定と「$y \geq 0$」の否定を「または」で結んだものになる。

「$x \geq 0$」の否定は「$x < 0$」であり、「$y \geq 0$」の否定は「$y < 0$」である。

したがって、「$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$」の否定は「$x < 0$ または $y < 0$」となる。

(2) 「$x = 0$ または $y = 0$」の否定は、「$x = 0$」の否定と「$y = 0$」の否定を「かつ」で結んだものになる。

「$x = 0$」の否定は「$x \neq 0$」であり、「$y = 0$」の否定は「$y \neq 0$」である。

したがって、「$x = 0$ または $y = 0$」の否定は「$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$」となる。

(3) 「$x, y$ はともに有理数」の否定は、「$x$ が有理数」かつ「$y$ が有理数」の否定である。

これは、「$x$ が有理数でない」または「$y$ が有理数でない」と言い換えられる。

すなわち、「$x$ が無理数である」または「$y$ が無理数である」となる。

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ または $y < 0$

(2) $x \neq 0$ かつ $y \neq 0$

(3) $x$ が無理数である、または、$y$ が無理数である