実数 $x, y$ について、以下の命題の空欄に、選択肢（1. 必要条件であるが十分条件でない、2. 十分条件であるが必要条件でない、3. 必要十分条件である、X. いずれでもない）のうちから適切なものを選ぶ問題です。 (1) $x=2$ は、$x^2-x-2=0$ であるための（）。 (2) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための（）。 (3) $ab+1=a+b$ は、$a=1$ または $b=1$ であるための（）。 (4) $A, B$ を2つの集合とする。$a$ が $A \cup B$ の要素は、$a$ が $A$ の要素であるための（）。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ について、以下の命題の空欄に、選択肢（

1. 必要条件であるが十分条件でない、

2. 十分条件であるが必要条件でない、

3. 必要十分条件である、X. いずれでもない）のうちから適切なものを選ぶ問題です。

(1) $x=2$ は、$x^2-x-2=0$ であるための（）。

(2) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための（）。

(3) $ab+1=a+b$ は、$a=1$ または $b=1$ であるための（）。

(4) $A, B$ を2つの集合とする。$a$ が $A \cup B$ の要素は、$a$ が $A$ の要素であるための（）。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ は、$x^2-x-2=0$ であるための（）。

$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)=0$ より、$x=2$ または $x=-1$ 。

$x=2$ ならば $x^2-x-2=0$ は真。

$x^2-x-2=0$ ならば $x=2$ は偽（$x=-1$ の場合がある）。

よって、十分条件であるが、必要条件ではない。

したがって、答えは 2 です。

(2) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための（）。

$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ ならば、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は真。

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ ならば、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は偽（相似比が1でない場合がある）。

よって、必要条件であるが、十分条件ではない。

したがって、答えは 1 です。

(3) $ab+1=a+b$ は、$a=1$ または $b=1$ であるための（）。

$ab+1=a+b$ を変形すると、$ab-a-b+1 = 0$ となり、$a(b-1)-(b-1) = 0$ より、$(a-1)(b-1)=0$ 。

よって、$a=1$ または $b=1$ が成り立つ。

$a=1$ または $b=1$ ならば、$(a-1)(b-1) = 0$ より、$ab-a-b+1=0$ すなわち $ab+1=a+b$ 。

したがって、必要十分条件である。

答えは 3 です。

(4) $A, B$ を2つの集合とする。$a$ が $A \cup B$ の要素は、$a$ が $A$ の要素であるための（）。

$a$ が $A \cup B$ の要素であるとき、$a$ は $A$ の要素であるかまたは $B$ の要素である。

$a$ が $A$ の要素であるとは限らないので、$a$ が $A \cup B$ の要素ならば $a$ が $A$ の要素であるは偽。

$a$ が $A$ の要素ならば $a$ は $A \cup B$ の要素であるは真。

よって、十分条件であるが、必要条件ではない。

したがって、答えは 2 です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 3

(4) 2