定数 $a$ を用いて定義される関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、(1) 最大値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いて定義される関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、(1) 最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

よって、この放物線の頂点の座標は $(2a, 4a^2 - a)$ です。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を求めるには、頂点の $x$ 座標 $2a$ の値と定義域の位置関係を考慮して場合分けを行います。

(i) $2a < 0$ すなわち $a < 0$ のとき

$x=0$ で最大値をとります。

$x=0$ のとき $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

(ii) $0 \le 2a \le 2$ すなわち $0 \le a \le 1$ のとき

$x = 2a$ で最大値をとります。

$x=2a$ のとき $y = 4a^2 - a$

(iii) $2a > 2$ すなわち $a > 1$ のとき

$x=2$ で最大値をとります。

$x=2$ のとき $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

したがって、各場合における最大値は以下の通りです。

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最大値は $-a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $4a^2 - a$

$a > 1$ のとき、最大値は $7a - 4$